微积分 · 教材导读

设 $D$，$B$ 是两个非空实数集，如果存在一个对应法则 $f$，使得对 $D$ 中任何一个实数 $x$，在 $B$ 中都有唯一确定的实数 $y$ 与 $x$ 对应，则称 $f:D\to B$ 是 $D$ 上的函数，记为

$y$ 称为 $x$ 对应的函数值，记为

其中 $x$ 叫做自变量，$y$ 叫做因变量。

有时也简称因变量 $y$ 是自变量 $x$ 的函数。虽然这种说法并不太确切，但反映了 $y$ 是依赖于 $x$ 的变量，在使用上有方便之处。所以我们以后常用这种说法，但应正确理解，函数的本质是指对应法则 $f$ 与定义域，不是指因变量 $y$。

$D$ 称为函数 $f$ 的定义域，记为 $D\left(f\right)$。集合 $\left\{f\right(x):x\in D\}$ 称为函数的值域，记为 $R\left(f\right)$。在平面坐标系 $Oxy$ 下，集合 $\left\{\right(x,y):y=f(x),x\in D\}$ 称为函数 $y=f\left(x\right)$ 的图形或图像。

对区间我们常引入下面的记号。开区间 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )(\delta >0)$ 称为以 $x_0$ 为心，以 $\delta$ 为半径的邻域，简称为 $x_0$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(x_0,\delta )$。若不需要指明半径 $\delta$ 时，记作 $U\left(x_0\right)$，称为 $x_0$ 的某邻域。

$(x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$ 称为以 $x_0$ 为心，以 $\delta$ 为半径的空（去）心邻域，简称为 $x_0$ 的 $\delta$ 空（去）心邻域，记作 $U^{\circ }(x_0,\delta )$。

由函数的定义可知，定义域和对应法则是确定函数的两个要素。至于变量本身的具体意义及采用什么记号是无关紧要的，比如

代表同一个函数。

如果同时研究几个不同的函数，即不同的对应规律，就必须用不同的记号加以区别，如 $f,g,\phi ,\psi ,\cdots$。有时为了简便起见，可用 $y=y\left(x\right)$ 表示一个函数，这样 $y$ 既代表对应规律又代表因变量。

在函数的定义中，当 $x$ 在 $D$ 上每取一个值 $x_0$，所对应的值 $y_0$ 称为函数 $f$ 在 $x=x_0$ 处的值，记作 $f\left(x_0\right)$，即有 $y_0=f\left(x_0\right)$。

如果一个函数是由数学表达式给出，而定义域没有具体的规定，那么它的定义域就是使得函数在数学上有意义的自变量所取数值的全体。如果该函数有实际背景，则它的定义域还要根据问题的实际条件来确定。

表示函数的定义域常用区间、不等式这两种方法。

设 $A\subset \mathbf{\text{R}}$，$A\ne \varnothing$，若常数 $\alpha$ 满足下列两个条件：

（1）$\alpha$ 是 $A$ 的上界，即对一切 $x\in A$，都有 $x\le \alpha$；

（2）$\alpha$ 是 $A$ 的最小上界，即对任意给定的 $\epsilon >0$，$\alpha -\epsilon$ 都不是 $A$ 的上界，即任给 $\epsilon >0$，一定存在 $x_0\in A$，使 $x_0>\alpha -\epsilon$（注意：这里的 $x_0$ 随 $\epsilon$ 变化而变化），

则称数 $\alpha$ 为数集 $A$ 的上确界，记作 $\alpha =\text{sup}A$ 或 $\alpha ={\text{sup}}_{x\in A}\left\{x\right\}$。

设 $A\subset \mathbf{\text{R}}$，$A\ne \varnothing$，若常数 $\beta$ 满足下列两个条件：

（1）$\beta$ 是 $A$ 的下界，即对一切 $x\in A$，都有 $x\ge \beta$；

（2）$\beta$ 是 $A$ 的最大下界，即对任意给定的 $\epsilon >0$，一定存在 $x_0\in A$，使 $x_0<\beta +\epsilon$，

则称数 $\beta$ 为数集 $A$ 的下确界，记作 $\beta =\text{inf}A$ 或 $\beta ={\text{inf}}_{x\in A}\left\{x\right\}$。

例如 $\text{sup}[0,2]=2$，$\text{inf}[0,2]=0$；$\text{sup}(0,2)=2$，$\text{inf}(0,2)=0$；$\text{sup}\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots \}=1$，$\text{inf}\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots \}=0$。

从上面的例子可以看出，若数集 $A$ 有上（下）确界，则上（下）确界可能属于 $A$，也可能不属于 $A$。可以证明上（下）确界属于 $A$ 的充要条件是上（下）确界为 $A$ 的最大（小）值。若数集 $A$ 存在上（下）确界，则一定是唯一的。

确界原理　非空有上（下）界的数集，必有上（下）确界。

推论　非空有界的数集，必有上（下）确界。

这个原理，我们作为公理来接受，它是微积分理论的基础，因此，我们应给予足够的重视。

设 $D$ 是关于原点对称的数集，$f$ 为定义在 $D$ 上的函数，若对每一个 $x\in D$（这时也有 $-x\in D$），都有

则称 $f$ 为 $D$ 上的奇（偶）函数。

从函数图像上看，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 $y$ 轴对称。

设 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数，若存在某个非零常数 $T$，使得对一切 $x\in D$，都有 $x+T\in D$，且

则称 $f$ 为周期函数。$T$ 称为 $f$ 的一个周期。显然，若 $T$ 是 $f\left(x\right)$ 的周期，则 $kT$ 也是 $f\left(x\right)$ 的周期，$k\in \mathbf{\text{Z}}$。若周期函数 $f$ 的所有正周期中存在最小正周期，则称这个最小正周期为 $f$ 的基本周期。一般地，函数的周期指的是基本周期。

判断函数 $y={log}_a(x+\sqrt{1+x^2})(a>0,a\ne 1)$ 的奇偶性。

解　函数 $y$ 的定义域是 $\mathbf{\text{R}}=(-\infty ,+\infty )$，由于

所以 $f\left(x\right)$ 是奇函数。

例 10　$f\left(x\right)=x-\left[x\right]$，$x\in (-\infty ,+\infty )$ 的周期为 $1$。

例 11

是周期函数，但不存在最小正周期。

事实上，我们可以证明任何非零有理数都是 $D\left(x\right)$ 的周期。设 $T$ 是一个非零有理数，任给 $x\in \mathbf{\text{R}}$，（1）当 $x$ 是有理数时，$x+T$ 也是有理数，则 $D(x+T)=D\left(x\right)=1$；（2）当 $x$ 是无理数时，$x+T$ 也是无理数，则 $D(x+T)=D\left(x\right)=0$。

设 $f$ 为定义在数集 $D$ 上的函数，若对 $D$ 中任意两点 $x_1<x_2$，都有 $f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$（或 $f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right)$），则称 $f$ 在 $D$ 上单调增加（减少）；若不等式严格成立（$x_1<x_2$ 时 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$），则称 $f$ 在 $D$ 上严格单调增加（减少）。单调增加与单调减少的函数统称单调函数。

设 $f$ 为定义在数集 $D$ 上的函数，若存在常数 $M>0$，使得对每一个 $x\in D$，都有 $\left|f\right(x\left)\right|\le M$，则称 $f$ 在 $D$ 上有界；否则称 $f$ 在 $D$ 上无界，即对任何实数 $M>0$，都存在 $x_0\in D$，使 $\left|f\right(x_0\left)\right|>M$。

判别有界性最常用的办法：求出 $\left|f\right(x\left)\right|$ 在 $D$ 上的最大值或一个上界。例如 $f\left(x\right)=\frac{x}{1+x^2}$ 在 $\mathbf{\text{R}}$ 上满足 $\left|f\right(x\left)\right|\le \frac{1}{2}$，故有界。

设 $\left\{a_n\right\}$ 是一个数列，$a$ 是一个确定的常数，若对任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，都有 $|a_n-a|<\epsilon$，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限是 $a$，或者说数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛到 $a$，记作

（读作当 $n$ 趋向于无穷大时，$a_n$ 的极限是 $a$）或记作 $a_n\to a(n\to \infty )$（读作当 $n$ 趋向于无穷大时，$a_n$ 趋向于 $a$）。

此定义称为数列极限的 $\epsilon$-$N$ 定义。若“任给”用“$\forall$”表示，“存在”用“$\exists$”表示，则 $\epsilon$-$N$ 定义可叙述为：

若 $\forall \epsilon >0$，$\exists$ 正整数 $N$，当 $n>N$ 时，都有 $|a_n-a|<\epsilon$，则 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n=a$。

1. $\epsilon$ 的任意性。 $\epsilon$ 是一个正数，其作用在于衡量 $a_n$ 与 $a$ 的接近程度。尽管 $\epsilon$ 是任意给定的，但当它一经给出，就应暂时看成一个定值，以便根据它来求 $N$。既然 $\epsilon$ 是任意的正数，那么 $2\epsilon$，$10\epsilon$，$\sqrt{\epsilon }$，${\epsilon }^2$ 等同样也是任意的正数，因此此定义中不等式右边的 $\epsilon$ 也可用 $2\epsilon$，$10\epsilon$，$\sqrt{\epsilon }$ 或 ${\epsilon }^2$ 等来代替。同样可以把“$<$”号换成“$\le$”号。（注意：可限制 $\epsilon$ 小于某一个正常数，不影响衡量 $a_n$ 与 $a$ 接近的程度。）

2. $N$ 的相应性。 一般说，$N$ 是随着 $\epsilon$ 的变小而变大的，但 $\epsilon$ 给定以后，确定的 $N$ 不是唯一的，因为对已给的 $\epsilon$，若 $N=100$ 满足要求，则 $N=101,102,\cdots$ 自然更能满足要求。在定义中，只要求存在一个正整数 $N$，而不在于它的值有多大，只要求对一切 $n>N$ 时，都有 $|a_n-a|<\epsilon$。至于 $n\le N$ 时，$|a_n-a|$ 是大于或等于 $\epsilon$ 是无关紧要的，而且 $n>N$ 也可改成 $n\ge N$。

3. 几何意义。 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n=a$ 等价于任意给定正数 $\epsilon$，相应地存在 $N$，当 $n>N$ 时，都有 $|a_n-a|<\epsilon$，即有 $a-\epsilon <a_n<a+\epsilon$ 或 $a_n\in (a-\epsilon ,a+\epsilon )$。换句话说，$a$ 的任何给定的 $\epsilon$ 邻域中都含有数列 $\left\{a_n\right\}$ 中除了有限项以外的所有项。

若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的极限存在，则极限值是唯一的。

分析　如果不唯一，即有 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n=a$，${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n=b$，$a\ne b$。当 $n$ 充分大时，由于

要想推出矛盾，只要取 $\epsilon \le \frac{|a-b|}{2}$ 即可。

证（反证法）　假设极限值不唯一，即有 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n=a$，${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n=b$，$a\ne b$。取 $\epsilon =\frac{|a-b|}{3}>0$，由 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n=a$ 知，存在正整数 $N_1$，当 $n>N_1$ 时，有……（教材续证）。

若数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛，则 $\left\{a_n\right\}$ 为有界数列。即存在某正常数 $M$，使得对一切正整数 $n$，都有 $\left|a_n\right|\le M$。

证　设 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n=a$。由极限定义知，取 $\epsilon =1$，存在相应的正整数 $N$，对一切 $n>N$，有 $|a_n-a|<1$。由 $\left|a_n\right|-\left|a\right|\le |a_n-a|<1$ 知，对一切 $n>N$，有 $\left|a_n\right|<1+\left|a\right|$。设

则对一切正整数 $n$，都有 $\left|a_n\right|\le M$。

有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件。例如，数列 $\left\{\right(-1{)}^n\}$ 有界，但它并不收敛。该性质的逆否命题为真，即：若数列 $\left\{a_n\right\}$ 无界，则数列 $\left\{a_n\right\}$ 发散。

性质 3　设 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n=a$，${\text{lim}}_{n\to \infty }{b}_n=b$ 且 $a<b$，则存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时（即 $n$ 充分大时），都有 $a_n<b_n$。

推论（保号性）　若 ${\text{lim}}_{n\to \infty }{a}_n=a>0(a<0)$，则对于满足 $0<\eta <a(a<\eta <0)$ 的任何常数 $\eta$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，都有 $a_n>\eta >0(a_n<\eta <0)$。

设函数 $f\left(x\right)$ 在 $[b,+\infty )$ 上有定义，若存在常数 $A$，对任给 $\epsilon >0$，存在 $X>0$，当 $x>X$ 时，都有 $\left|f\right(x)-A|<\epsilon$，则称数 $A$ 为函数 $f\left(x\right)$ 当 $x\to +\infty$ 时的极限，记作

类似地，把定义 1.15 中的“$[b,+\infty )$”换成“$(-\infty ,b]$”、“$x>X$”换成“$x<-X$”，即得 ${\text{lim}}_{x\to -\infty }f\left(x\right)=A$ 的定义；把“$[b,+\infty )$”换成“$(-\infty ,a]\cup [b,+\infty )$，$a\le b$”、“$x>X$”换成“$\left|x\right|>X$”，即得 ${\text{lim}}_{x\to \infty }f\left(x\right)=A$ 的定义。

设函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x=x_0$ 的某一空心邻域 $U^{\circ }(x_0,{\delta }_0)$ 内有定义，$A$ 为一常数，若任给 $\epsilon >0$，总存在 $\delta >0(\delta \le {\delta }_0)$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$（即 $x\in U^{\circ }(x_0,\delta )$）时，都有 $\left|f\right(x)-A|<\epsilon$（即 $f\left(x\right)\in U(A,\epsilon )$）成立，则称 $A$ 为函数 $f\left(x\right)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记作

这个定义称为 $\epsilon$-$\delta$ 定义。

几何意义　对于任给的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，曲线 $y=f\left(x\right)$ 上的点 $(x,f(x\left)\right)$ 全部落在直线 $y=A-\epsilon$ 与 $y=A+\epsilon$ 之间的带形区域内。

同理，${\text{lim}}_{x\to \infty }f\left(x\right)=A$ 的几何意义是：对于任给的 $\epsilon >0$，存在正数 $X$，当 $\left|x\right|>X$ 时，曲线 $y=f\left(x\right)$ 上的点 $(x,f(x\left)\right)$ 全部落在直线 $y=A-\epsilon$ 与 $y=A+\epsilon$ 之间的带形区域内。

定理 1.9　${\text{lim}}_{x\to \infty }f\left(x\right)=A$ 的充要条件是 ${\text{lim}}_{x\to +\infty }f\left(x\right)={\text{lim}}_{x\to -\infty }f\left(x\right)=A$。

我们经常要研究 $x\to x_0$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 的变化趋势，其中自变量 $x\to x_0$ 是指 $x$ 无限接近于 $x_0$，但 $x\ne x_0$。在 $x\to x_0$ 的过程中，函数 $f\left(x\right)$ 能否与某一常数无限接近，与函数在 $x=x_0$ 处是否有定义、或与函数值是多少都没有关系。在考虑当 $x\to x_0$，函数 $f\left(x\right)$ 的变化趋势时，只要在 $x_0$ 的某一空心邻域（$x=x_0$ 可以除外）内考虑就行了。

证　$|\frac{x^2-1}{x^2-x}-2|=\left|\frac{x-1}{x}\right|=\frac{|x-1|}{\left|x\right|}$。

由于 $x\to 1$，不妨设 $0<|x-1|<\frac{1}{2}$，于是 $x>\frac{1}{2}$，即 $\left|x\right|>\frac{1}{2}$，从而

所以，任给 $\epsilon >0$，要使 $|\frac{x^2-1}{x^2-x}-2|<\epsilon$，只要 $2|x-1|<\epsilon$，即 $|x-1|<\frac{\epsilon }{2}$。

取 $\delta =\text{min}\{\frac{1}{2},\frac{\epsilon }{2}\}$，当 $0<|x-1|<\delta$ 时，都有 $|\frac{x^2-1}{x^2-x}-2|<\epsilon$。由定义知 ${\text{lim}}_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x^2-x}=2$。

若 $f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 的某邻域 $U\left(x_0\right)$ 内有定义，且

则称函数 $y=f\left(x\right)$ 在点 $x=x_0$ 处连续。

用 $\epsilon$-$\delta$ 语言叙述为：设 $f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，任给 $\epsilon >0$，总存在 $\delta >0$，当 $|x-x_0|<\delta$ 时，都有 $\left|f\right(x)-f(x_0\left)\right|<\epsilon$，则称 $y=f\left(x\right)$ 在点 $x=x_0$ 处连续。

若 $f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义且 ${\text{lim}}_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$，则称函数 $y=f\left(x\right)$ 在点 $x=x_0$ 处连续。

由 ${\text{lim}}_{x\to x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)=f\left({\text{lim}}_{x\to x_0}x\right)$ 知，在连续意义下，极限运算 $\text{lim}$ 与对应法则 $f$ 可交换。

有时需要研究只在 $x_0$ 一侧有定义的函数的连续性或分段函数 $f\left(x\right)$ 在分界点处的连续性。因此，引入左、右连续的概念。

定义 1.26　设 $f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 的左（右）邻域 $U_{-}\left(x_0\right)\left(U_{+}\right(x_0\left)\right)$ 内有定义且

则称函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x=x_0$ 处左（右）连续。

定理 1.20　$f\left(x\right)$ 在点 $x=x_0$ 处连续的充要条件是 $f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 处既左连续又右连续。

若 $f\left(x\right)$ 在开区间 $(a,b)$ 内的每一点都连续，则称 $f\left(x\right)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续。若 $f\left(x\right)$ 在开区间 $(a,b)$ 内连续，且 $f\left(x\right)$ 在点 $x=a$ 处右连续，在点 $x=b$ 处左连续，则称 $f\left(x\right)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。

若 $f\left(x\right)$ 在点 $x=x_0$ 处不连续，则称 $x=x_0$ 是函数 $y=f\left(x\right)$ 的间断点。若 $x_0$ 为函数 $f\left(x\right)$ 的间断点，则必为下列情形之一：

（1）极限 ${\text{lim}}_{x\to x_0}f\left(x\right)$ 不存在；

（2）$f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 处无定义；

（3）${\text{lim}}_{x\to x_0}f\left(x\right)$ 存在，$f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 处有定义，但 ${\text{lim}}_{x\to x_0}f\left(x\right)\ne f\left(x_0\right)$。

若 ${\text{lim}}_{x\to x_0}f\left(x\right)=A$，而 $f\left(x\right)$ 在 $x=x_0$ 处没有定义或有定义但 $f\left(x_0\right)\ne A$，则称 $x_0$ 为 $f\left(x\right)$ 的可去间断点。

若 $x=x_0$ 为函数 $f\left(x\right)$ 的可去间断点，只需补充定义或改变 $f$ 在 $x=x_0$ 处的函数值，就可使函数在点 $x_0$ 处连续。但必须注意这时的函数与 $f\left(x\right)$ 已经不是同一个函数，但仅在 $x=x_0$ 处不同，在其他点则完全相同。

例 4　设 $f\left(x\right)=\frac{sinx}{x}$，由于 ${\text{lim}}_{x\to 0}f\left(x\right)=1$，$f\left(x\right)$ 在点 $x=0$ 无定义，所以 $x=0$ 是可去间断点。设 $F\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{sinx}{x},& x\ne 0,\\ 1,& x=0,\end{array}$ 则 $F\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处连续。当 $x\ne 0$ 时，$F\left(x\right)=f\left(x\right)$。

若 ${\text{lim}}_{x\to x_0^{-}}f\left(x\right)=f\left(x_0^{-}\right)$，${\text{lim}}_{x\to x_0^{+}}f\left(x\right)=f\left(x_0^{+}\right)$，但 $f\left(x_0^{-}\right)\ne f\left(x_0^{+}\right)$，则称 $x=x_0$ 为函数 $f\left(x\right)$ 的跳跃间断点，$\left|f\right(x_0^{+})-f(x_0^{-}\left)\right|$ 称为跳跃度。

可去间断点、跳跃间断点统称为第一类间断点。第一类间断点的特点是左、右极限均存在。

若 $f\left(x\right)$ 在 $x=x_0$ 的左、右极限至少有一个不存在，则称 $x=x_0$ 为函数 $f\left(x\right)$ 的第二类间断点。

例 5　设 $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$，$x=0$ 是 $f\left(x\right)$ 的第二类间断点。狄利克雷函数定义域上的每一点都是第二类间断点。

如果 $f\left(x\right)$ 在区间 $[a,b]$ 上仅有有限个第一类间断点，则称函数 $f\left(x\right)$ 在 $[a,b]$ 上按段连续。例如 $y=\left[x\right]$ 在 $[-n,n]$（$n$ 是正整数）上按段连续。

若 $f\left(x\right)$，$g\left(x\right)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，则 $f\left(x\right)\pm g\left(x\right)$，$f\left(x\right)g\left(x\right)$，$cf\left(x\right)$（$c$ 为常数），$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$（这里 $g\left(x_0\right)\ne 0$）在点 $x=x_0$ 处也连续。

若 $u=\phi \left(x\right)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，$y=f\left(u\right)$ 在 $u_0=\phi \left(x_0\right)$ 处连续，则 $y=f\left(\phi \right(x\left)\right)$ 在 $x=x_0$ 处也连续，且

推论　若 ${\text{lim}}_{x\to x_0}\phi \left(x\right)=u_0$，$y=f\left(u\right)$ 在 $u=u_0$ 处连续，则 ${\text{lim}}_{x\to x_0}f\left(\phi \right(x\left)\right)=f\left({\text{lim}}_{x\to x_0}\phi \right(x\left)\right)$。

注　上面定理不仅对 $x\to x_0$ 时成立，对于 $x\to x_0^{+}$，$x\to x_0^{-}$，$x\to \infty$，$x\to -\infty$，$x\to +\infty$ 的情形，也可按上述证明方法证明成立。利用这一性质，我们可以简化求极限。

例 6　求 ${\text{lim}}_{x\to 0}sin(1+\frac{sinx}{x})$。

解　$sin(1+\frac{sinx}{x})$ 可看成 $f\left(u\right)=sinu$ 与 $u=\phi \left(x\right)=1+\frac{sinx}{x}$ 的复合。由于 ${\text{lim}}_{x\to 0}\phi \left(x\right)={\text{lim}}_{x\to 0}(1+\frac{sinx}{x})=2$，而 $f\left(u\right)=sinu$ 在 $u=2$ 处连续，所以

熟悉了以后，这些过程都可以不写。

例 7　${\text{lim}}_{x\to \infty }cos(xsin\frac{1}{x}-1)=cos(1-1)=cos0=1$。

函数在点 $x=x_0$ 极限存在与函数在点 $x=x_0$ 处连续的区别是：函数极限存在与 $f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 处是否有定义无关；函数连续不仅要求 $f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 处有定义，且函数极限等于 $f\left(x_0\right)$。

记 $\Delta x=x-x_0$，并把它称为自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量或改变量，相应的函数 $f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 处的增量为

记为 $\Delta y$，即 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)$。

注　$\Delta x$ 可以是正数，也可以是负数，也可以是 $0$。

由 ${\text{lim}}_{x\to x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$，得

即 ${\text{lim}}_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$。从而连续的定义也可叙述为：${\text{lim}}_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$（自变量增量趋于 $0$ 时，函数增量也趋于 $0$）。

设

讨论 $f\left(x\right)$ 在点 $x=0$ 处的连续性。

解　由于

所以 $f\left(x\right)$ 在点 $x=0$ 处既左连续又右连续，从而 $f\left(x\right)$ 在点 $x=0$ 处连续。

设

讨论 $f\left(x\right)$ 在点 $x=0$ 处的连续性。

解　因为

所以 $f\left(x\right)$ 在点 $x=0$ 处不连续。

设 $f\left(x\right)$ 为定义在 $D$ 上的函数，若存在 $x_0\in D$，对一切 $x\in D$，都有

则称 $f\left(x\right)$ 在 $D$ 上有最大（小）值，并称 $f\left(x_0\right)$ 为 $f\left(x\right)$ 在 $D$ 上的最大（小）值。

若 $f\left(x\right)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f\left(x\right)$ 在 $[a,b]$ 上一定能取到最大值与最小值，即存在 $x_1,x_2\in [a,b]$，$f\left(x_1\right)=M$，$f\left(x_2\right)=m$，使得对一切 $x\in [a,b]$，都有

其几何意义：闭区间上的连续曲线一定有最高点与最低点。

推论　若 $f\left(x\right)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f\left(x\right)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

若函数 $f\left(x\right)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f\left(a\right)f\left(b\right)<0$，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使 $f\left(\xi \right)=0$。

几何意义：若点 $A(a,f(a\left)\right)$，$B(b,f(b\left)\right)$ 分别在 $x$ 轴的上、下两侧，则连接 $AB$ 的连续曲线 $y=f\left(x\right)$ 至少穿过 $x$ 轴一次。

定理 1.22 为判断 $f\left(x\right)=0$ 在区间 $(a,b)$ 是否有根提供了依据。

若函数 $f\left(x\right)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f\left(a\right)\ne f\left(b\right)$，若 $c$ 为介于 $f\left(a\right)$，$f\left(b\right)$ 之间的任何实数，则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f\left(\xi \right)=c$。

证　设 $F\left(x\right)=f\left(x\right)-c$，则 $F\left(x\right)$ 在 $[a,b]$ 上连续。由 $F\left(a\right)=f\left(a\right)-c$，$F\left(b\right)=f\left(b\right)-c$ 异号（$c$ 介于 $f\left(a\right)$ 与 $f\left(b\right)$ 之间），对 $F\left(x\right)$ 用零点定理即得。

教材用四个问题引出导数：切线斜率（几何）、瞬时速度（力学）、电流强度（电学）、人口增长率（社会学）。

以切线为例：曲线上 $P_0(x_0,y_0)$ 与另一点 $Q(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ 连成割线，其斜率为

让 $Q$ 沿曲线趋于 $P_0$，得切线斜率 $k_{P_{0}T}={\text{lim}}_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$。瞬时时速 $v\left(t_0\right)={\text{lim}}_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}$、电流强度 $I\left(t_0\right)={\text{lim}}_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta t}$、人口增长率 $k\left(t_0\right)={\text{lim}}_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta N}{\Delta t}$ 形式完全一样。

教材原话：以上考虑的四个问题，虽然分属于人类知识的四个不同领域：几何学、力学、电学与社会学，但都有共同的数学特征，即就某一函数施行同一种数学运算，要求出函数值增量与相应的自变量增量之比（这个比值称为差商）当自变量增量趋于 $0$ 时的极限——因变量对自变量的变化率。

设一平面曲线方程为 $y=f\left(x\right)$，$P_0(x_0,y_0)$ 是曲线上一点，过 $P_0$ 作割线 $P_{0}Q$ 与曲线相交于 $Q$ 点，点 $Q$ 沿曲线无限趋于点 $P_0$ 时，若割线 $P_{0}Q$ 的极限位置的直线 $P_{0}T$ 存在且唯一，则称 $P_{0}T$ 为该曲线在点 $P_0$ 处的切线。（注：$Q$ 可在 $P_0$ 左边也可在 $P_0$ 右边。）

设函数 $y=f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U\left(x_0\right)$ 内有定义。若极限

存在，则称 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 可导，并称此极限值为 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 处的导数（或微商），记作 $f\prime \left(x_0\right)$ 或 $y\prime {|}_{x=x_0}$ 或 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}{|}_{x=x_0}$ 或 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}f\left(x\right){|}_{x=x_0}$，即

另外导数的定义还可写成另一种常用的形式（令 $x-x_0=\Delta x$）：

若式 (2.1) 的极限不存在，则称函数 $y=f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 不可导。

应当注意，记号 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}{|}_{x=x_0}$ 作为一个符号，表示 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 的导数，看起来却像分数的样子。在后面的几节中，这个“分数”的分子和分母将获得独立的意义，而且它们的比值恰好与导数相等，但现在仍要把 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 看成一个整体，作为导数的符号。

前面所提出几个问题的结果现在可用导数表达出来：

• 切线斜率 $k_{P_{0}T}=f\prime \left(x_0\right)$
• 瞬时速度 $v\left(t_0\right)=s\prime \left(t_0\right)$
• 电流强度 $I\left(t_0\right)=Q\prime \left(t_0\right)$
• 人口增长率 $k\left(t_0\right)=N\prime \left(t_0\right)$

几何意义：若 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 可导，则 $f\prime \left(x_0\right)$ 表示曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $P_0(x_0,f(x_0\left)\right)$ 处切线的斜率。

1. 常值函数 $f\left(x\right)=c,x\in ℝ$：$\left(c\right)\prime =0$。

2. $f\left(x\right)=sinx$ 与 $f\left(x\right)=cosx$，$x\in ℝ$：$(sinx)\prime =cosx$，$(cosx)\prime =-sinx$。

3. $f\left(x\right)=a^x(a>0,a\ne 1)$，$x\in ℝ$：$\left(a^x\right)\prime =a^{x}lna$；特别地 $\left({\text{e}}^x\right)\prime ={\text{e}}^x$。

4. $f\left(x\right)={log}_{a}x(a>0,a\ne 1)$，$x\in (0,+\infty )$：$\left({log}_{a}x\right)\prime =\frac{1}{xlna}$；特别地 $(lnx)\prime =\frac{1}{x}$。

5. $f\left(x\right)=x^{\alpha }$（$\alpha$ 为常数，$\alpha \ne 0$）：$\left(x^{\alpha }\right)\prime =\alpha x^{\alpha -1}$；当 $n$ 是正整数时 $\left(x^n\right)\prime =n{x}^{n-1}$，$x\in ℝ$。

例如 $(1/x)\prime =\left(x^{-1}\right)\prime =(-1)\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$，$(1/\sqrt{x})\prime =\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)\prime =-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}$。

若 $0\in D$，必有 $\alpha >0$，此时 $f\left(0\right)=0$，由于

所以，当 $\alpha \ge 1$ 时，$f\left(x\right)=x^{\alpha }$ 在点 $x=0$ 可导且

且仍然适合公式 $y\prime =\alpha x^{\alpha -1}$；当 $0<\alpha <1$ 时，$f\left(x\right)=x^{\alpha }$ 在点 $x=0$ 处不可导。

若 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 不连续，则 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 不可导。

此定理为判断函数在一点不可导提供了一个简单有效的方法。教材同时指出：可导与连续的关系中，此定理的逆命题不真。例如 $f\left(x\right)=\left|x\right|$ 在点 $x=0$ 连续，但不可导。

注：在利用抽象函数在一点可导作为条件，或证明抽象函数可导时，常用极限形式 ${\text{lim}}_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$。

设函数 $u=u\left(x\right)$，$v=v\left(x\right)$ 在点 $x$ 处可导，则 $u\pm v$，$u\cdot v$，$\frac{u}{v}(v\ne 0)$ 都在点 $x$ 处可导，且

应用归纳法，可把 (1)、(2) 推广到任意有限多个可导函数的情形，即若 $u_i=u_i\left(x\right)(i=1,2,\cdots ,n)$ 均可导，则

由导数的四则运算知

同理

设 $y=f\left(x\right)$ 为函数 $x=\phi \left(y\right)$ 的反函数，若 $\phi \left(y\right)$ 在点 $y_0$ 的某邻域内连续、严格单调且 $\phi \prime \left(y_0\right)\ne 0$，则 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0(x_0=\phi (y_0\left)\right)$ 可导，且

给 $x_0$ 以改变量 $\Delta x\ne 0$。由于 $\phi \left(y\right)$ 严格单调，所以 $y=f\left(x\right)$ 也严格单调，从而可知 $\Delta y\ne 0$。由 $\phi \left(y\right)$ 在 $y_0$ 处连续，知 $f\left(x\right)$ 在 $x_0$ 处也连续，因此 $\Delta x\to 0$ 等价于 $\Delta y\to 0$。又 $\phi \prime \left(y_0\right)\ne 0$，故

由于 $y=arcsinx$，$x\in [-1,1]$ 的反函数是 $x=siny$，$y\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，符合反函数求导法则的条件，于是

同理可证 $(arccosx)\prime =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$x\in (-1,1)$。

由于 $y=arctanx$，$x\in ℝ$ 的反函数是 $x=tany$，$y\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$，于是

同理可证 $(arccotx)\prime =-\frac{1}{1+x^2}$，$x\in ℝ$。

反三角函数的导数，虽然可以根据导数定义来求，但由于要用到烦琐的反三角函数公式，因此，我们可利用反函数求导法则来求反三角函数的导数。

从而，我们求出了所有基本初等函数的导数。除了 $y=arcsinx$，$y=arccosx$ 在 $x=\pm 1$ 处不可导，$y=x^{\alpha }$ 在 $x=0$ 处有时可能不可导，其余的基本初等函数在它们的定义域内的每一点都可导。

关于三角函数、反三角函数的导数的“$\pm$”号，有一个简单的记忆方法：带有“正”字的三角函数、反三角函数的导数前面取“$+$”号；带有“余”字的三角函数、反三角函数的导数前面取“$-$”号。

求 $y=arccosx$ 在 $x=-\frac{1}{2}$ 处的切线方程。

解 记 $y_0=arccos(-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}$，由 $(arccosx)\prime =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 得

切线方程：$y-\frac{2\pi }{3}=-\frac{2}{\sqrt{3}}(x+\frac{1}{2})$，即 $y=-\frac{2}{\sqrt{3}}x+\frac{2\pi }{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}$。

设函数 $y=f\left(u\right)$ 对 $u$ 可导，$u=\phi \left(x\right)$ 对 $x$ 可导，则复合函数 $y=f\left(\phi \right(x\left)\right)$ 对 $x$ 可导，且

有的读者看到结论 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\cdot \frac{\text{d}u}{\text{d}x}$，可能会采取下面的求法：