第四章不定积分 · 微积分学习站

本章结构（对应教材）#

节	内容	页码
§1	不定积分的概念（原函数、基本积分表、性质）	188
§2	几种基本方法（凑微分、变量代换、分部积分）	192
§3	特殊类型函数（有理函数、三角有理式、无理函数）	204

教材把「凑微分」作为第一换元法、「变量代换」作为第二换元法，名称与同济版一致，但顺序是先凑微分后代换。做题时按这个顺序试。

本章在考什么#

题型	分值	频率	说明
直接积分 / 凑微分	4–8 分	必考	基本功
第二类换元（根式、三角）	6–10 分	高频	有固定套路
分部积分	6–10 分	必考	对数、反三角、乘积
有理函数积分	8–12 分	中频	拆分 + 待定系数
与原函数概念相关的选择	3–5 分	中频	存在性、连续性

知识框架#

原函数与不定积分
├─ 定义：F'(x)=f(x) ⇒ ∫f(x)dx = F(x)+C
├─ 原函数存在定理：连续函数必有原函数
├─ 性质：线性性、与求导互为逆运算
└─ 基本积分表（必须背熟）

积分方法
├─ 第一类换元（凑微分）：∫f[φ(x)]φ'(x)dx = ∫f(u)du
├─ 第二类换元（变量代换）：x=φ(t)
│  ├─ 根式：√(a²-x²) → x=a sin t
│  ├─       √(a²+x²) → x=a tan t
│  └─       √(x²-a²) → x=a sec t
├─ 分部积分：∫u dv = uv - ∫v du
└─ 有理函数：部分分式分解

核心定义与定理#

原函数存在定理

若 $f (x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f$ 在 $I$ 上必有原函数。

注意：有原函数不等于原函数是初等函数。例如 $\int e^{- x^{2}} d x$ 、 $\int \frac{sin x}{x} d x$ 都存在，但不能表示为初等函数——考试中遇到这类，通常是通过变上限积分表示，而不是硬积。

基本积分表（必背）

\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C (α \neq - 1), \int \frac{d x}{x} = ln | x | + C,

\int e^{x} d x = e^{x} + C, \int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{ln a} + C, \int sin x d x = - cos x + C, \int cos x d x = sin x + C,

\int \frac{d x}{1 + x^{2}} = arctan x + C, \int \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = arcsin x + C,

\int {sec}^{2} x d x = tan x + C, \int {csc}^{2} x d x = - cot x + C, \int sec x tan x d x = sec x + C,

\int \frac{d x}{a^{2} + x^{2}} = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a} + C, \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = arcsin \frac{x}{a} + C,

\int tan x d x = - ln | cos x | + C, \int cot x d x = ln | sin x | + C, \int sec x d x = ln | sec x + tan x | + C .

分部积分的选 $u$ 顺序

\int u d v = u v - \int v d u .

选 $u$ 的口诀：反、对、幂、指、三（反三角、对数、幂函数、指数、三角），排在前面的取作 $u$ ，排在后面的凑进 $d v$ 。

◆方法口诀背后的道理

分部积分是把「难求导的」换成「好求导的」。对数与反三角求导后变成代数式，所以让它们当 $u$ ；指数与三角求导后形态不变，适合当 $d v$ 。

重难点#

★重难点凑微分的本质：把

d x

变成

d φ (x)

\int f [φ (x)] φ' (x) d x = \int f [φ (x)] d φ (x) .

常见凑法：

被积式中的因子	凑成
$x d x$	$\frac{1}{2} d (x^{2})$
$\frac{d x}{x}$	$d (ln x)$
$e^{x} d x$	$d (e^{x})$
$cos x d x$	$d (sin x)$
$\frac{d x}{\sqrt{x}}$	$2 d (\sqrt{x})$
$\frac{d x}{1 + x^{2}}$	$d (arctan x)$

看到被积函数里同时出现「某个函数」和「它的导数」，就是凑微分的信号。

★重难点第二类换元：换完必须回代，且要写清

t

的范围

以 $x = a sin t$ 为例，必须注明 $t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，否则 $\sqrt{a^{2} - x^{2}} = a cos t$ 的符号无法确定（开方取绝对值时要讨论）。

回代时用直角三角形最快：由 $sin t = \frac{x}{a}$ 画出对边 $x$ 、斜边 $a$ 、邻边 $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ ，直接读出 $cos t$ 、 $tan t$ 。

★重难点有理函数积分：先看次数，再拆部分分式

若分子次数 $\geq$ 分母次数，先做多项式除法；
分母因式分解，按因子类型拆：
- 单实根 $(x - a)$ → $\frac{A}{x - a}$ ；
- 重实根 $(x - a)^{k}$ → $\frac{A_{1}}{x - a} + \dots + \frac{A_{k}}{(x - a)^{k}}$ ；
- 不可约二次 $(x^{2} + p x + q)$ → $\frac{B x + C}{x^{2} + p x + q}$ ；
- 通分比较系数（或代特殊值）定常数。

拆完每一项都能积：前两类出对数，第三类配方后出 $arctan$ 。

易错点#

⚠易错点忘记写

+ C

不定积分的结果是一族函数。漏 $+ C$ 在阅卷中通常直接扣分，且是最不该丢的分。

⚠易错点

\int \frac{d x}{x} = ln | x | + C

，不是

ln x + C

$x < 0$ 时 $ln x$ 无定义，必须加绝对值。同理 $\int tan x d x = - ln | cos x | + C$ 。

⚠易错点换元后忘记把

t

换回

x

第二类换元得到的答案含 $t$ ，必须回代成 $x$ 的表达式。若题目是定积分，则换元同时换限，不必回代——两种处理不要混。

⚠易错点分部积分方向选反会越积越复杂

$\int x e^{x} d x$ 若令 $u = e^{x}$ 、 $d v = x d x$ ，会得到更复杂的式子。判断标准：选 $u$ 后， $u'$ 应比 $u$ 简单； $d v$ 应容易积。

⚠易错点

\int f (x) d x

与

\int f (x) d x

中的变量要一致

$\int f (x) d t$ 这种写法没有意义（除非 $f$ 与 $t$ 无关，那也只是常数因子）。换元时 $d x = x' (t) d t$ ，别把 $d t$ 漏掉。

典型例题#

✎例题例 1｜凑微分

求 $\int x \sqrt{1 - x^{2}} d x$ 。

思路：出现 $x$ 与 $1 - x^{2}$ ，而 $(1 - x^{2})' = - 2 x$ ，正好差一个常数。

解：

\int x \sqrt{1 - x^{2}} d x = - \frac{1}{2} \int \sqrt{1 - x^{2}} d (1 - x^{2}) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (1 - x^{2})^{3 / 2} + C = - \frac{1}{3} (1 - x^{2})^{3 / 2} + C .

点评：凑微分的动作是「把 $x d x$ 改写成 $- \frac{1}{2} d (1 - x^{2})$ 」，剩下就是幂函数积分。

✎例题例 2｜根式换元

求 $\int \frac{d x}{1 + \sqrt{x}}$ 。

思路：根号是障碍，令 $t = \sqrt{x}$ 把它整个换掉。

解：令 $t = \sqrt{x}$ ，则 $x = t^{2}$ ， $d x = 2 t d t$ 。代入得

\int \frac{2 t}{1 + t} d t = 2 \int (1 - \frac{1}{1 + t}) d t = 2 t - 2 ln (1 + t) + C .

回代 $t = \sqrt{x}$ ：

\int \frac{d x}{1 + \sqrt{x}} = 2 \sqrt{x} - 2 ln (1 + \sqrt{x}) + C .

点评： $\frac{t}{1 + t} = 1 - \frac{1}{1 + t}$ 是必会的拆项。换元后要立刻把 $d x$ 也换掉，否则会漏乘 $2 t$ 。

✎例题例 3｜三角代换

求 $\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x (a > 0)$ 。

解：令 $x = a sin t$ ， $t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，则 $d x = a cos t d t$ ， $\sqrt{a^{2} - x^{2}} = a cos t$ 。于是

\int a^{2} {cos}^{2} t d t = a^{2} \int \frac{1 + cos 2 t}{2} d t = \frac{a^{2}}{2} (t + \frac{sin 2 t}{2}) + C = \frac{a^{2}}{2} (t + sin t cos t) + C .

由 $sin t = \frac{x}{a}$ ， $cos t = \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{a}$ ，回代得

\int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} arcsin \frac{x}{a} + C .

点评： ${cos}^{2} t$ 要降幂， $sin 2 t = 2 sin t cos t$ 要拆开，才能用 $x$ 表示。这是三角代换的标准收尾。

✎例题例 4｜分部积分

求 $\int x ln x d x$ 。

解：按「反对幂指三」，对数在前，取 $u = ln x$ ， $d v = x d x$ ，则 $d u = \frac{d x}{x}$ ， $v = \frac{x^{2}}{2}$ 。

\int x ln x d x = \frac{x^{2}}{2} ln x - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{d x}{x} = \frac{x^{2}}{2} ln x - \frac{x^{2}}{4} + C .

点评：若反过来令 $u = x$ ，会得到 $\frac{x^{2}}{2} ln x - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x$ 之外的更复杂形式，方向选错会卡住。

✎例题例 5｜有理函数

求 $\int \frac{x + 1}{x^{2} - x - 2} d x$ 。

解：分母分解： $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)$ 。设

\frac{x + 1}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{1}{x - 2} (x \neq - 1) .

这里可以直接约分——注意 $x = - 1$ 是原函数的可去间断点，积分区间需避开。

\int \frac{d x}{x - 2} = ln | x - 2 | + C .

点评：先约分再拆，能省一大半计算。若不能约分，才走「待定系数」流程。考试中先检查分子分母有无公因式，是性价比最高的一步。

自测清单#

☐ 能默写 12 条以上基本积分公式，包括 $sec x$ 、 $csc x$ 、 $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ 。
☐ 看到 $f (x) f' (x)$ 结构能立刻凑微分。
☐ 三种三角代换各自适用哪种根式，能脱口而出。
☐ 分部积分能按「反对幂指三」正确选 $u$ ，并解释为什么。
☐ 有理函数积分能完整走完「除法 → 分解 → 拆项 → 逐项积分」。

本章结构（对应教材）#

本章在考什么#

知识框架#

核心定义与定理#

原函数存在定理

基本积分表（必背）

分部积分的选 u 顺序

重难点#

易错点#

典型例题#

自测清单#

分部积分的选 $u$ 顺序