反函数的求导法则 · 微积分学习站

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章节	状态
第一章函数与极限 · §1 函数 / §2 数列极限 / §3 函数极限 / §4 函数的连续性	已学完
第二章 §1.1 导数的概念	已学完
第二章 §1.2 一、基本初等函数的导数公式	已学完
第二章 §1.2 二、导数的四则运算法则	已学完
第二章 §1.2 三、反函数的求导法则	本节（p.83–84）
第二章 §1.2 四、复合函数的求导法则（定理 2.6）	下一节

›提示本节在全章的位置

§1.2 一共四块，顺序是「基本公式 → 四则运算 → 反函数 → 复合函数」。前两块解决「已知函数怎么求导」，反函数法则解决「反过来的函数怎么求导」，复合函数法则解决「套起来的函数怎么求导」。三块凑齐，初等函数的求导就闭合了。

这一节要解决什么问题#

基本公式表里有 $sin x$ 、 $tan x$ ，却没有 $arcsin x$ 、 $arctan x$ 。用导数定义直接求 $arcsin x$ 的导数，要处理和差化积与反三角恒等式，很繁。

反函数法则的作用是：不去碰反函数本身，而是对它的原函数求导，再取倒数。

一句话记住：

反函数的导数 = \frac{1}{原函数在对应点的导数} .

定理 2.5（教材 p.83）#

设 $y = f (x)$ 为函数 $x = φ (y)$ 的反函数。若 $φ (y)$ 在点 $y_{0}$ 的某邻域内连续、严格单调且 $φ' (y_{0}) \neq 0$ ，则 $f (x)$ 在点 $x_{0} = φ (y_{0})$ 处可导，且

f' (x_{0}) = \frac{1}{φ' (y_{0})},

或写成 Leibniz 记号：

\frac{d y}{d x} |_{x = x_{0}} = \frac{1}{\frac{d x}{d y} |_{y = y_{0}}} .

★重难点三个条件分别管什么

条件	作用	少了会怎样
连续	保证 $Δ x \to 0 \Leftrightarrow Δ y \to 0$	反函数的增量与自变量的增量对不上，极限换不了元
严格单调	反函数存在，且 $Δ x \neq 0 \Rightarrow Δ y \neq 0$	证明中 $\frac{Δ y}{Δ x}$ 的分母可能为 0，倒数无意义
$φ' (y_{0}) \neq 0$	分母不为零，且保证 $f$ 在 $x_{0}$ 可导	反函数在该点可能不可导（如 $y = x^{3}$ 在 $0$ 处）

注意条件加在原函数 $φ$ 上，结论说的是反函数 $f$ 可导。这是最容易读反的一句话。

证明思路（教材 p.83）#

证明的关键只有一步：把对 $x$ 的极限换成对 $y$ 的极限。

因为 $φ$ 严格单调， $Δ x \neq 0$ 时必有 $Δ y \neq 0$ ；又因为 $φ$ 连续， $Δ x \to 0$ 与 $Δ y \to 0$ 等价。于是

f' (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ y \to 0} \frac{1}{\frac{Δ x}{Δ y}} = \frac{1}{φ' (y_{0})} .

最后一步用了「极限的倒数等于倒数的极限」，前提正是 $φ' (y_{0}) \neq 0$ （分母极限不为零）。

◆方法和第 1 章的联系

这里用到的是第一章的「复合函数的极限」与「无穷小的倒数」：当 $Δ y \to 0$ 且 $Δ y \neq 0$ 时， $\frac{Δ x}{Δ y}$ 的极限就是 $φ' (y_{0})$ 。第一章没学扎实，这一步会看不懂——它值得回看。

几何解释#

$y = f (x)$ 与 $x = φ (y)$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称。对称变换把一条斜率为 $k$ 的直线变成斜率为 $\frac{1}{k}$ 的直线，所以两条曲线在对应点处的切线斜率互为倒数。

这也解释了为什么 $φ' (y_{0}) = 0$ 时结论失效：原函数在该点的切线水平，对称过去切线垂直，斜率不存在——反函数不可导。

怎么用：三步#

写出反函数 $x = φ (y)$ ，并写清 $y$ 的取值范围（范围决定单调性，是定理的前提）。
对 $y$ 求导，得 $φ' (y)$ 。
取倒数并把 $y$ 换回 $x$ ：用 $x = φ (y)$ 把结果写成 $x$ 的函数。

⚠易错点第 3 步最容易漏

得到的 $\frac{1}{φ' (y)}$ 里含 $y$ ，而题目要求的是 $x$ 的函数。必须用反函数关系回代，例如 $cos y = \sqrt{1 - {sin}^{2} y} = \sqrt{1 - x^{2}}$ 。漏掉回代，答案就不是 $x$ 的函数。

四个反三角函数的导数#

函数	导数	定义域
$arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$(- 1, 1)$
$arccos x$	$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$(- 1, 1)$
$arctan x$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$	$ℝ$
$arccot x$	$- \frac{1}{1 + x^{2}}$	$ℝ$

★重难点符号口诀：正号取「+」，余号取「−」

$sin, cos$ ； $tan, cot$ ； $arcsin, arccos$ ； $arctan, arccot$ ——每一对里带「正」字的导数为正，带「余」字的导数为负。教材 p.84 明确给了这个记法。

考场上现推也行： $arccos$ 单调递减，导数必为负； $arccot$ 也递减，同样为负。

$arcsin x$ 的推导（教材原文）

$y = arcsin x$ ， $x \in [- 1, 1]$ 的反函数是 $x = sin y$ ， $y \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 。在开区间内 $cos y > 0$ ，满足定理条件，于是

(arcsin x)' = \frac{1}{(sin y)'} = \frac{1}{cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - {sin}^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, x \in (- 1, 1) .

这里开方取正号，依据是 $y \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 时 $cos y > 0$ 。这一步不能省，否则会写成 $\pm$ 。

$arctan x$ 的推导

$y = arctan x$ 的反函数是 $x = tan y$ ， $y \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，于是

(arctan x)' = \frac{1}{(tan y)'} = \frac{1}{{sec}^{2} y} = \frac{1}{1 + {tan}^{2} y} = \frac{1}{1 + x^{2}}, x \in ℝ .

$arccos x$ 与 $arccot x$

同理可证，符号为负：

(arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, (arccot x)' = - \frac{1}{1 + x^{2}} .

端点为什么不可导#

$x = \pm 1$ 时，对应的 $y = \pm \frac{π}{2}$ 处 $cos y = 0$ ，即 $φ' (y_{0}) = 0$ ，定理的条件不满足。事实上 $arcsin x$ 在 $x = \pm 1$ 处切线垂直，导数不存在（函数本身仍连续）。

教材 p.84 由此总结：除 $y = arcsin x$ 、 $y = arccos x$ 在 $x = \pm 1$ 处不可导， $y = x^{α}$ 在 $x = 0$ 处有时不可导外，其余基本初等函数在其定义域内处处可导。

例题#

✎例题例 1｜用反函数法则求

(ln x)'

已知 $(e^{x})' = e^{x}$ ，求 $(ln x)'$ 。

解： $y = ln x$ 的反函数是 $x = e^{y}$ ， $y \in ℝ$ ，且 $(e^{y})' = e^{y} \neq 0$ 。由定理 2.5，

(ln x)' = \frac{1}{(e^{y})'} = \frac{1}{e^{y}} = \frac{1}{x}, x > 0 .

点评：最后一步的回代用了 $e^{y} = x$ 。这就是「反函数法则」最典型的用法——把一个不熟悉的导数，转成熟悉的导数取倒数。

✎例题例 2｜证明

arcsin x + arccos x

是常数

求证：在 $(- 1, 1)$ 内 $arcsin x + arccos x = \frac{π}{2}$ 。

解：令 $F (x) = arcsin x + arccos x$ ，则

F' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0, x \in (- 1, 1) .

故 $F$ 在 $(- 1, 1)$ 内为常数。取 $x = 0$ 得 $F (0) = 0 + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ ，所以恒等式成立。

点评：导数恒为 0 推出「局部为常数」，这是第 3 章拉格朗日中值定理的推论，现在可以先当结论用。

✎例题例 3｜切线方程

求曲线 $y = arcsin x$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处的切线方程。

解： $y (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}$ ，且

y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \Rightarrow y' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{3}} .

切线方程：

y - \frac{π}{6} = \frac{2}{\sqrt{3}} (x - \frac{1}{2}) .

点评：反三角函数的函数值要背熟： $arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ ， $arctan 1 = \frac{π}{4}$ 。切线题一半的失分在函数值算错，不在导数。

✎例题例 4｜法线方程

求 $y = arctan x$ 在 $x = 1$ 处的法线方程。

解： $y (1) = \frac{π}{4}$ ， $y' = \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，故 $y' (1) = \frac{1}{2}$ 。法线斜率为 $- 2$ ：

y - \frac{π}{4} = - 2 (x - 1) .

点评：法线斜率是切线斜率的负倒数，别只取倒数忘了负号。

易错点#

⚠易错点倒数方向搞反

正确的是 $f' (x_{0}) = \frac{1}{φ' (y_{0})}$ 。写成 $φ' (y_{0})$ 或 $\frac{1}{f' (x_{0})}$ 都错——后者是循环定义。

拿一个具体点验算最可靠：在 $x = \frac{1}{2}$ 处， $arcsin$ 的斜率是 $\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$ ，而 $cos y = cos \frac{π}{6} \approx 0.866$ ，恰好互为倒数。

⚠易错点忘记回代，答案里留着

y

$(arcsin x)'$ 若写成 $\frac{1}{cos y}$ 就没有做完。必须用 $x = sin y$ 把 $cos y$ 换成 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

⚠易错点开方时丢掉符号判断

$\sqrt{1 - {sin}^{2} y} = | cos y |$ 。只有在 $y \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 时才能直接写 $cos y$ 。这个范围来自反函数的主值区间，要写出来。

⚠易错点以为

φ' (y_{0}) = 0

时反函数也不可导

反例： $y = x^{3}$ 在 $x = 0$ 处导数为 0，其反函数 $y = 3] x$ 在 $0$ 处导数不存在（切线垂直）。条件是充分条件，不是必要条件——定理失效不等于一定不可导，但考试中遇到 $φ' = 0$ 就要单独讨论。

⚠易错点直接对复合形式套公式

$(arcsin 2 x)' \neq \frac{1}{\sqrt{1 - (2 x)^{2}}}$ 。正确结果是 $\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ ，需要链式法则——那是下一节的内容。现在只需要知道：本节公式只对「自变量就是 $x$ 」的情形成立。

和前后知识的连接#

上一块：四则运算法则，解决 $u \pm v$ 、 $u v$ 、 $\frac{u}{v}$ 的求导。
下一块：复合函数求导（定理 2.6，教材 p.84），解决 $f (φ (x))$ 。学完它， $arcsin 2 x$ 、 $arctan (x^{2})$ 才能处理。
§1.3 隐函数求导：本质是同一件事——把 $y$ 看成 $x$ 的函数，对等式两边同时求导。本节「 $x = φ (y)$ 对 $y$ 求导」的思路会反复出现。

自测清单#

☐ 能完整叙述定理 2.5，并说清三个条件各自的作用。
☐ 能独立推导 $(arcsin x)'$ 与 $(arctan x)'$ ，包括开方取正号的理由。
☐ 四个反三角函数的导数能默写，符号不出错。
☐ 知道 $arcsin x$ 、 $arccos x$ 在 $x = \pm 1$ 处不可导，并能说明原因。
☐ 能说出为什么 $y = x^{3}$ 的反函数在 $0$ 处不可导。
☐ 会用反函数法则从 $(e^{x})'$ 推出 $(ln x)'$ 。

本章题目#

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