第六章常微分方程 · 微积分学习站

本章结构（对应教材）#

节	内容	页码
§1	基本概念	292
§2	可分离变量方程、齐次方程	297
§3	一阶线性微分方程、伯努利方程	303
§4	全微分方程（带 * ）	310
§5	可降阶的二阶方程（三种类型）	312
§6	二阶线性微分方程解的结构	317
§7	二阶常系数线性方程（齐次、非齐次、欧拉方程）	321
§8	常系数线性微分方程组	335
§9	二阶变系数线性方程的一般解法（降阶法、常数变易法）	337
§10	数学建模（二）	342
§11	差分方程（带 * ）	348

›提示本页覆盖范围

§2、§3、§7 已整理；§5 可降阶、§6 解的结构、§8–§11 待补。

本章在考什么#

题型	分值	频率	说明
一阶方程求解（可分离 / 齐次 / 线性）	8–12 分	必考	计算主力
二阶常系数齐次方程	8–10 分	必考	特征根三种情形
二阶常系数非齐次方程	8–10 分	高频	特解形式设定
应用题（建立方程）	8–12 分	中频	增长、冷却、混合

知识框架#

基本概念
├─ 阶：最高阶导数的阶数
├─ 通解：含独立任意常数，个数 = 阶数
└─ 特解：由初始条件确定常数后得到

一阶方程
├─ 可分离变量：y' = f(x)g(y) ⇒ dy/g(y) = f(x)dx
├─ 齐次方程：y' = φ(y/x)，令 u = y/x
└─ 一阶线性：y' + P(x)y = Q(x)，套公式

二阶常系数
├─ 齐次：y'' + py' + qy = 0，解特征方程 r² + pr + q = 0
│  ├─ 两不等实根：y = C₁e^{r₁x} + C₂e^{r₂x}
│  ├─ 重根：y = (C₁ + C₂x)e^{rx}
│  └─ 共轭复根 α±βi：y = e^{αx}(C₁cos βx + C₂sin βx)
└─ 非齐次：y = 齐次通解 + 一个特解 y*

核心定义与定理#

一阶线性方程的通解公式

y' + P (x) y = Q (x) ⟹ y = e^{- \int P d x} [\int Q (x) e^{\int P d x} d x + C] .

◆方法公式怎么记

三步：先算积分因子 $μ = e^{\int P d x}$ ，方程两边乘 $μ$ 后左边变成 $(μ y)'$ ，再积分。

忘了公式就现推，比背错强。关键是 $P$ 、 $Q$ 都要是 $x$ 的函数，且方程必须先化成标准形（ $y'$ 的系数为 1）。

二阶常系数齐次方程

特征方程 $r^{2} + p r + q = 0$ 的根决定通解形式：

判别式	根	通解
$Δ > 0$	两个不等实根 $r_{1}, r_{2}$	$C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$
$Δ = 0$	二重根 $r$	$(C_{1} + C_{2} x) e^{r x}$
$Δ < 0$	$α \pm β i$	$e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x)$

非齐次方程的特解形式

右端 $f (x) = P_{m} (x) e^{λ x}$ 时，设

y^{*} = x^{k} Q_{m} (x) e^{λ x},

其中 $k$ 是 $λ$ 作为特征根的重数（不是根取 $k = 0$ ，单根取 $k = 1$ ，二重根取 $k = 2$ ）。

右端 $f (x) = e^{α x} [P_{l} (x) cos β x + Q_{n} (x) sin β x]$ 时，设

y^{*} = x^{k} e^{α x} [R_{m} (x) cos β x + S_{m} (x) sin β x], m = max (l, n),

$k$ 由 $α \pm β i$ 是否为特征根决定（是则 $k = 1$ ，否则 $k = 0$ ）。

重难点#

★重难点先识别类型，再动笔

拿到方程先问三个问题：

能分离变量吗？（ $y' = f (x) g (y)$ 的形式）
是齐次方程吗？（右端只含 $y / x$ 的组合）
是一阶线性吗？（ $y'$ 与 $y$ 都是一次的）

三类都不是，才考虑变量代换或降阶。类型判断错了，后面全是白算。

★重难点特解形式中的

x^{k}

：重根才乘

x

这是非齐次方程最大的坑。 $λ$ 恰好是特征根时，直接设 $A e^{λ x}$ 会与齐次解重复，导致方程无解（代进去系数全消）。

规则： $λ$ 是 $k$ 重特征根，就乘 $x^{k}$ 。做题时先解特征方程，再对照 $λ$ 。

★重难点通解中任意常数的个数必须等于阶数

一阶方程一个 $C$ ，二阶方程两个 $C_{1}, C_{2}$ 。若算出的通解常数个数不对，说明积分过程中漏解或合并错误。

另外，分离变量时除以 $g (y)$ 可能丢掉 $g (y) = 0$ 的特解，要单独检查。

易错点#

⚠易错点一阶线性方程没化成标准形就套公式

$x y' + y = x^{2}$ 必须先写成 $y' + \frac{1}{x} y = x$ ，此时 $P = \frac{1}{x}$ 、 $Q = x$ 。直接拿 $P = y$ 的系数（这里是 1）代入是错的。

⚠易错点分离变量时丢掉

y = 0

这类解

$\frac{d y}{y} = f (x) d x$ 这一步默认了 $y \neq 0$ 。若 $y = 0$ 也是解，必须补充说明，否则通解不完整。

⚠易错点初始条件代入太早

必须先求出通解（含全部任意常数），再代入初始条件定常数。在中间步骤代入会漏掉另一个常数。

⚠易错点特征根是复数时写成实根形式

$r^{2} + 1 = 0$ 的根是 $\pm i$ ，通解是 $C_{1} cos x + C_{2} sin x$ ，不是 $C_{1} e^{i x} + C_{2} e^{- i x}$ （虽然等价，但考试要求实值形式）。

典型例题#

✎例题例 1｜可分离变量

求 $y' = 2 x y$ 满足 $y (0) = 1$ 的特解。

解：分离变量： $\frac{d y}{y} = 2 x d x$ （ $y \neq 0$ ）。

两边积分： $ln | y | = x^{2} + C_{1}$ ，即 $y = C e^{x^{2}}$ 。

代入 $y (0) = 1$ 得 $C = 1$ ，故 $y = e^{x^{2}}$ 。

点评： $y = 0$ 也是原方程的解，但它不满足初始条件，故不影响本题结论——这个检查在解答里写一句更严谨。

✎例题例 2｜一阶线性

求 $y' + y = e^{- x}$ 的通解。

解：标准形已满足， $P = 1$ ， $Q = e^{- x}$ 。积分因子 $e^{\int P d x} = e^{x}$ 。由公式

y = e^{- x} [\int e^{- x} \cdot e^{x} d x + C] = e^{- x} (x + C) .

点评：也可以两边乘 $e^{x}$ 得 $(e^{x} y)' = 1$ ，直接积分。两种做法本质相同，后者更快。

✎例题例 3｜二阶齐次（相异实根）

求 $y'' - 3 y' + 2 y = 0$ 的通解。

解：特征方程 $r^{2} - 3 r + 2 = 0$ ，即 $(r - 1) (r - 2) = 0$ ，根为 $r_{1} = 1, r_{2} = 2$ 。

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} .

点评：先因式分解再求根，比套求根公式快。检验方法：把 $e^{x}$ 、 $e^{2 x}$ 分别代回原方程，应恒为 0。

✎例题例 4｜二阶非齐次（

λ

不是特征根）

求 $y'' - 3 y' + 2 y = e^{3 x}$ 的一个特解。

解： $λ = 3$ 不是特征根（特征根为 1、2），故设 $y^{*} = A e^{3 x}$ 。

代入： $9 A e^{3 x} - 9 A e^{3 x} + 2 A e^{3 x} = 2 A e^{3 x} = e^{3 x}$ ，得 $A = \frac{1}{2}$ 。

故 $y^{*} = \frac{1}{2} e^{3 x}$ 。

点评：若右端改成 $e^{x}$ ，因 $λ = 1$ 是单根，特解要设成 $A x e^{x}$ ——这就是「重根乘 $x$ 」的由来。

自测清单#

☐ 拿到方程能在 30 秒内判断属于哪一类，并说出对应解法。
☐ 一阶线性方程能先化标准形，再套公式或积分因子。
☐ 二阶齐次方程的特征根三种情形，通解形式能默写。
☐ 非齐次特解能正确判断 $k$ 的取值，并说明理由。
☐ 会检查：常数个数是否等于阶数、是否漏掉 $g (y) = 0$ 的解。