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先求函数值：$arccos(-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}$。\n\n再求导数：$y\prime =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，故 $y\prime (-\frac{1}{2})=-\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{4}}}=-\frac{2}{\sqrt{3}}$。\n\n切线方程：$y-\frac{2\pi }{3}=-\frac{2}{\sqrt{3}}(x+\frac{1}{2})$。

$y=\text{arccot}x$ 的反函数是 $x=coty$，主值区间 $y\in (0,\pi )$。在该区间内 $coty$ 严格单调、连续，且\n$$(coty)\prime =-{csc}^{2}y=-(1+{cot}^{2}y)=-(1+x^2)\ne 0.$$\n由定理 2.5，\n$$\left(\text{arccot}x\right)\prime =\frac{1}{-(1+x^2)}=-\frac{1}{1+x^2}.$$

不可导，理由有两条，答一条即可：\n\n从定理条件看：反函数 $x=siny$ 在 $y_0=\frac{\pi }{2}$ 处 $\phi \prime \left(y_0\right)=cos\frac{\pi }{2}=0$，不满足 $\phi \prime \left(y_0\right)\ne 0$，定理 2.5 失效。\n\n从定义看：\n$$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\frac{arcsinx-\frac{\pi }{2}}{x-1}=+\infty ,$$\n差商无有限极限，故不可导（切线垂直）。

第一步，用连续定一个方程：\n$$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}{x}^2=1=\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}(ax+b)=a+b.$$\n\n第二步，用左右导数相等定第二个方程。分界点只能用定义：\n$$f{\prime }_{-}\left(1\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\frac{x^2-1}{x-1}=2,$$\n$$f{\prime }_{+}\left(1\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}\frac{(ax+b)-1}{x-1}.$$\n由 $b=1-a$ 代入得 $\frac{a(x-1)}{x-1}=a$，故 $f{\prime }_{+}\left(1\right)=a$。\n\n所以 $a=2,b=-1$。

用乘积法则：\n$$y\prime =2xarctanx+(1+x^2)\cdot \frac{1}{1+x^2}=2xarctanx+1.$$

$$y\prime =\frac{\frac{1}{1+x^2}\cdot x-arctanx\cdot 1}{x^2}=\frac{x-(1+x^2)arctanx}{x^2(1+x^2)}.$$

用麦克劳林展开：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)$，故分子 $=\frac{x^2}{2}+o\left(x^2\right)$，\n$$\underset{x\to 0}{\text{lim}}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}.$$\n\n也可用两次洛必达：$\frac{e^x-1}{2x}\to \frac{e^x}{2}\to \frac{1}{2}$。

凑成标准形式：\n$$(1+\frac{2}{x}{)}^{3x}=[(1+\frac{2}{x}{)}^{x/2}{]}^6\to e^6.$$\n\n或用公式 $\text{lim}{u}^v=exp\left(\text{lim}v\right(u-1\left)\right)$：$v(u-1)=3x\cdot \frac{2}{x}=6$，故结果为 $e^6$。

$x=0$ 处函数无定义，是间断点。分别求左右极限：\n$$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}\frac{sinx}{x}=1,\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}\frac{sinx}{-x}=-1.$$\n左右极限都存在但不相等，故 $x=0$ 是跳跃间断点（第一类）。