第二章导数与微分 · 微积分学习站

本章结构（对应教材）#

节	内容	页码	状态
§1.1	导数的概念	74	已学
§1.2 一	基本初等函数的导数公式	79	已学
§1.2 二	导数的四则运算法则	82	已学
§1.2 三	反函数的求导法则	83	当前 → 单独整理
§1.2 四	复合函数的求导法则（定理 2.6）	84	下一节
§1.3	隐函数的导数	88	未学
§1.4	高阶导数	91	未学
§1.5	导数在实际中的应用	96	未学
§2.1	微分的概念	102	未学
§2.2	微分的基本性质	106	未学
§2.3	近似计算与误差估计	110	未学
§2.4	高阶微分（带 * ）	112	未学

§1.1 导数的概念#

定义

设 $y = f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，给 $x_{0}$ 一个增量 $Δ x$ ，相应函数增量为

Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) .

若极限

lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}

存在，则称 $f$ 在 $x_{0}$ 处可导，该极限值记作 $f' (x_{0})$ ，或 $y' |_{x = x_{0}}$ 、 $\frac{d y}{d x} |_{x = x_{0}}$ 。

几何意义与物理意义

几何： $f' (x_{0})$ 是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处切线的斜率。
物理：位移对时间的导数是瞬时速度。

可导与连续

可导必连续，连续不一定可导。

教材同款反例： $y = | x |$ 在 $x = 0$ 处连续，但左导数为 $- 1$ 、右导数为 $1$ ，故不可导。

单侧导数

f'_{-} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{Δ y}{Δ x}, f'_{+} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{Δ y}{Δ x} .

$f$ 在 $x_{0}$ 可导 $\Leftrightarrow$ 左右导数都存在且相等。

★重难点分段函数在分界点：只能用定义

分界点两侧表达式不同，不能分别对两侧求导再取极限。标准流程：先验连续（不连续直接不可导），再用定义分别算左右导数，最后比较。

§1.2 求导公式与运算法则#

基本公式表（必须背熟）

原函数	导数	原函数	导数
$C$	$0$	$sin x$	$cos x$
$x^{α}$	$α x^{α - 1}$	$cos x$	$- sin x$
$a^{x}$	$a^{x} ln a$	$tan x$	${sec}^{2} x$
$e^{x}$	$e^{x}$	$cot x$	$- {csc}^{2} x$
${log}_{a} x$	$\frac{1}{x ln a}$	$sec x$	$sec x tan x$
$ln x$	$\frac{1}{x}$	$csc x$	$- csc x cot x$

反三角函数的四条由反函数法则推出，见反函数的求导法则：

(arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, (arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}},

(arctan x)' = \frac{1}{1 + x^{2}}, (arccot x)' = - \frac{1}{1 + x^{2}} .

四则运算法则

(u \pm v)' = u' \pm v', (u v)' = u' v + u v', (\frac{u}{v})' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}} (v \neq 0) .

特别地 $(C u)' = C u'$ ， $(\frac{1}{v})' = - \frac{v'}{v^{2}}$ 。

教材 p.82 用增量法给出了这三条的证明。证明过程本身考得少，但增量法的思路（ $Δ y$ 拆成 $u, v$ 的增量）在后面的隐函数、参数方程题里会反复用到。

★重难点商的求导：分子顺序不能反

$(\frac{u}{v})' = \frac{u' v - u v'}{v^{2}}$ ，分子是「上导下不导减上不导下导」。写成 $u v' - u' v$ 会整体差一个负号。

自检办法：取 $u = 1$ ，应得 $- \frac{v'}{v^{2}}$ 。

复合函数（下一节预告）

定理 2.6（p.84）：

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}, {f [φ (x)]}' = f' [φ (x)] \cdot φ' (x) .

教材特意指出：不能直接用「 $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x}$ 再取极限」来证，因为 $Δ u$ 可能恒为 0（书中给了 $u = x^{2} sin \frac{1}{x}$ 的反例），分母为零就没有意义。这个细节说明链式法则的证明需要更精细的处理，但结论可以直接用。

重难点#

★重难点用定义求导的三类信号

分段函数在分界点；
题目出现 $f' (x_{0})$ 但没给 $f$ 的表达式，只给极限式；
判断「可导性」而不是「求导数」。

识别方法：看分子是不是「函数值之差」，分母是不是「自变量之差」，两者是否对应同一个增量。

★重难点抽象函数的极限式：凑成导数定义

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + 2 h) - f (x_{0})}{h} = 2 f' (x_{0}),

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0} - h)}{2 h} = f' (x_{0}) .

第二个式子存在不能反推 $f$ 在 $x_{0}$ 可导（它只保证对称差商有极限，例如 $f (x) = | x |$ 在 $0$ 处该极限为 $0$ ，但不可导）。这是概念题的经典陷阱。

★重难点幂指函数

u (x)^{v (x)}

：取对数或写成

e

的指数

y = u^{v} \Rightarrow y' = u^{v} (v' ln u + v \frac{u'}{u}) .

推导只需 $y = e^{v ln u}$ 再链式。不能套 $x^{n}$ 或 $a^{x}$ 的公式——底和指数同时在变。

易错点#

⚠易错点

f' (x_{0})

与

[f (x_{0})]'

不是一回事

前者是导函数在 $x_{0}$ 的值，后者是常数的导数，等于 0。求 $f' (2)$ 时正确做法是先求 $f' (x)$ 再代入。

⚠易错点绝对值、根式在零点处不可导

$| x |$ 在 $0$ 不可导； $3] x$ 在 $0$ 处导数不存在（切线垂直）； $x^{2 / 3}$ 同理。判断看左右导数，不要看图像「顺不顺」。

⚠易错点求导与代值的顺序

含参数的题常要求「先求导再代点」。若先代点得到常数，再求导就是 0——这类错误在填空题里极常见。

⚠易错点商的法则漏掉分母平方

$(\frac{u}{v})'$ 的分母是 $v^{2}$ 而不是 $v$ 。漏平方是最常见的计算失误。

典型例题#

✎例题例 1｜用定义求分段点导数

设 $f (x) = {\begin{cases} x^{2} sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ ，讨论 $f' (0)$ 。

解：分界点只能用定义：

f' (0) = lim_{x \to 0} \frac{x^{2} sin \frac{1}{x} - 0}{x - 0} = lim_{x \to 0} x sin \frac{1}{x} = 0 .

（用了「无穷小 × 有界量 = 无穷小」。）

点评：这个例子还说明 $f' (0)$ 存在，但 $f' (x) = 2 x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x}$ 在 $0$ 附近无极限——导函数可以不连续。

✎例题例 2｜四则运算 + 基本公式

设 $y = \frac{x sin x}{1 + cos x}$ ，求 $y'$ 。

解：商的法则，分子再用乘积法则：

y' = \frac{(x sin x)' (1 + cos x) - x sin x \cdot (1 + cos x)'}{(1 + cos x)^{2}} = \frac{(sin x + x cos x) (1 + cos x) + x {sin}^{2} x}{(1 + cos x)^{2}} .

化简时把 ${sin}^{2} x$ 与 $1 + cos x$ 合并：

y' = \frac{sin x (1 + cos x) + x cos x (1 + cos x) + x {sin}^{2} x}{(1 + cos x)^{2}} = \frac{sin x}{1 + cos x} + \frac{x (cos x + {cos}^{2} x + {sin}^{2} x)}{(1 + cos x)^{2}} .

用 ${cos}^{2} x + {sin}^{2} x = 1$ 得

y' = \frac{sin x}{1 + cos x} + \frac{x}{1 + cos x} .

点评：商的法则算完一定要化简，否则答案又长又容易错。这里最后的合并用了「分子提出公因子」的技巧。

✎例题例 3｜幂指函数

设 $y = x^{x} (x > 0)$ ，求 $y'$ 。

解：取对数 $ln y = x ln x$ ，两边求导：

\frac{y'}{y} = ln x + 1 \Rightarrow y' = x^{x} (ln x + 1) .

点评：也可以写成 $y = e^{x ln x}$ 直接求导，结果相同。 $y = (sin x)^{x}$ 、 $y = x^{sin x}$ 都是同一套路。

本章自测#

☐ 能写出导数定义的两种等价形式，并解释对称差商为什么不能反推可导。
☐ 能默写 16 条基本导数公式，包括四个反三角函数。
☐ 商的求导法则能一次写对，不丢分母的平方。
☐ 分段函数在分界点能完整走「连续 → 左导 → 右导 → 结论」。
☐ 能说清 $(arcsin x)'$ 的推导中「开方取正号」的依据。

本章题目#

共 3 道，点击进入题库练习；解答在题库页默认折叠。