错题本

判断 $y={sin}^{4}x+{cos}^{4}x$ 是否为周期函数，并求最小正周期。

方法缺失 化简停在了 $1-2{sin}^{2}x{cos}^{2}x$，没有继续化成单一三角函数。这个形式看不出真实周期，只能靠「猜一个 $T$ 代进去验证」，而验证只能证明「$T$ 是周期」，证明不了「最小」。$f(x+\frac{\pi }{2})={cos}^{4}x+{sin}^{4}x=f\left(x\right)$ 同样成立，所以 $\pi$ 不是最小。

求最小正周期的标准流程只有一条：先化到 $Asin(\omega x+\phi )+B$ 的形式，再由 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 读出。代值验证只能当检查，不能当结论。

求 $y={sin}^{6}x+{cos}^{6}x$ 的最小正周期（答案 $\frac{\pi }{2}$）；求 $y={sin}^{2}x$ 的最小正周期（答案 $\pi$）。

求 ${\text{lim}}_{n\to \infty }\frac{1^2+2^2+\cdots +(n-1{)}^2}{n^3}$。

计算失误 展开 $n(n-1)(2n-1)=2n^3-3n^2+n$，最高次项系数是 2，不是 1。分母 $6n^3$ 对应的系数也是 6，所以极限是 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。心算最高次时把 $2n\cdot n\cdot n$ 的系数 2 丢了。

含乘积的分子，先把最高次项写成显式形式再取极限，不要在心里估算。可以记一句检查口诀：${\sum }_{k=1}^n{k}^2\sim \frac{n^3}{3}$，直接对答案量级做校验。

$\text{lim}\frac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{n^3}$（答案 $\frac{1}{3}$）；$\text{lim}\frac{1^3+2^3+\cdots +n^3}{n^4}$（答案 $\frac{1}{4}$）。

求 ${\text{lim}}_{x\to 1}\frac{x^2-3x+2}{x^4-4x+3}$。

计算失误 分母是 $(x-1{)}^2$、分子只有一个 $(x-1)$，只能约掉一个，剩下的 $(x-1)$ 仍留在分母上。约完后分子 $\to -1$、分母 $\to 0$，极限是无穷大而不是有限数。根源是没有数清两边因子的个数。

约分前先把分子分母各自的 $(x-a)$ 重数标出来：这里分子 1 重、分母 2 重，约掉 1 重后还剩 1 重在分母，立刻能判断是无穷大。判断重数最快的办法是求导看是否仍为 0。

${\text{lim}}_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x^3-1}$（答案 $\frac{2}{3}$）；${\text{lim}}_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}$（答案 不存在，$\infty$）。

求 ${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\text{exception 25:}}$。

方法缺失 有理化的原则是分子分母同乘同一个因子。只对分母乘了立方和因子，分子没乘对应的共轭因子，等于把分子当成常数，原式的值被改变了。

两边都要有理化时，先通分式地写出「同乘的因子」，再约，不要只盯着分母。快速验算：分子 $\sim x$、分母 $\sim \frac{2}{3}x$，比值 $\frac{3}{2}$，与结果一致。

${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{\text{exception 25:}}$（答案 $\frac{3}{2}$）；${\text{lim}}_{x\to 0}\frac{e^x-1}{ln(1+x)}$（答案 1）。