第三章微分中值定理及导数的应用

本章结构（对应教材）#

节	内容	页码
§1	微分中值定理（费马、罗尔、拉格朗日、柯西、单调性与极值）	116
§2	未定式的极限（ $\frac{0}{0}$ 、 $\frac{\infty}{\infty}$ 、其他类型）	130
§3	泰勒定理及应用（泰勒、麦克劳林、佩亚诺余项）	140
§4	数学建模（一）	150
§5	函数图形的凹凸性与拐点	157
§6	函数图形的描绘（渐近线、作图）	160
§7	导数在经济中的应用（边际分析、弹性分析）	164
§8	曲率、曲率圆	174
§9	方程的近似根（图解法、数值法）	180

›提示本页覆盖范围

§1–§3、§5–§6 已经整理；§4、§7、§8、§9（含带 * 的选学部分）待补——需要教材原文时告诉我页码，我按原文补。

本章在考什么#

题型	分值	频率	说明
用中值定理证明等式 / 不等式	8–12 分	必考	压轴常客
单调性、极值、最值	8–12 分	必考	含参讨论
凹凸性、拐点	5–8 分	高频	常与作图结合
渐近线	3–5 分	高频	选择、填空
洛必达求极限	5–10 分	高频	与第 1 章联动

知识框架#

中值定理
├─ 费马引理：可导极值点 ⇒ f'(ξ)=0
├─ 罗尔定理：[a,b] 连续、(a,b) 可导、f(a)=f(b) ⇒ ∃ξ, f'(ξ)=0
├─ 拉格朗日：f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)
├─ 柯西：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f'(ξ)/g'(ξ)
└─ 泰勒：f(x) = 多项式 + 余项（佩亚诺 / 拉格朗日）

导数应用
├─ 单调性：f' 的符号
├─ 极值：第一充分条件（变号）、第二充分条件（f''(x₀)）
├─ 最值：驻点 + 不可导点 + 端点
├─ 凹凸：f'' 的符号；拐点：凹凸性改变的点
├─ 渐近线：水平、垂直、斜
└─ 函数作图：定义域 → 奇偶周期 → 单调极值 → 凹凸拐点 → 渐近线

核心定义与定理#

三个中值定理的条件对比

定理	闭区间连续	开区间可导	额外条件	结论
罗尔	需要	需要	$f (a) = f (b)$	$\exists ξ, f' (ξ) = 0$
拉格朗日	需要	需要	无	$f (b) - f (a) = f' (ξ) (b - a)$
柯西	需要	需要	$g' (x) \neq 0$	$\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f' (ξ)}{g' (ξ)}$

★重难点条件缺一不可，反例要会举

缺「闭区间连续」： $f (x) = \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上，结论不成立。
缺「开区间可导」： $f (x) = | x |$ 在 $[- 1, 1]$ 上， $f (- 1) = f (1)$ 但不存在 $f' (ξ) = 0$ 。
缺「端点相等」：罗尔定理失效，但拉格朗日仍可用。

考试常出「下列函数在给定区间上能否用罗尔定理」的选择题，逐条核对条件即可。

泰勒公式

带佩亚诺余项（用于求极限）：

f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k} + o ((x - x_{0})^{n}) .

带拉格朗日余项（用于估计、证明）：

f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k} + \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{n + 1} .

常用麦克劳林展开（ $x \to 0$ ）：

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + o (x^{n}), sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots

cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots, ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots, (1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + \dots

极值的两个充分条件

第一充分条件： $f' (x)$ 在 $x_{0}$ 两侧变号。左正右负 → 极大值；左负右正 → 极小值；不变号 → 不是极值。
第二充分条件： $f' (x_{0}) = 0$ 且 $f'' (x_{0}) \neq 0$ 。 $f'' (x_{0}) < 0$ → 极大值； $f'' (x_{0}) > 0$ → 极小值。

渐近线

类型	判据	求法
垂直	${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = \infty$	找无定义点、分母零点
水平	${lim}_{x \to \infty} f (x) = b$	直接求 $x \to \pm \infty$ 的极限
斜	${lim}_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = k \neq 0$ ，且 $lim [f (x) - k x] = b$	先求 $k$ 再求 $b$

重难点#

★重难点构造辅助函数：三类常见模式

证明题的核心是「把要证的式子整理成 $F' (ξ) = 0$ 的形式」。三种最常考的构造：

要证 $f' (ξ) + k f (ξ) = 0$ → 令 $F (x) = e^{k x} f (x)$ ，则 $F' = e^{k x} (f' + k f)$ 。
要证 $ξ f' (ξ) + f (ξ) = 0$ → 令 $F (x) = x f (x)$ 。
要证 $f' (ξ) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ → 直接对 $f$ 用拉格朗日。

判断方法：把结论中的 $ξ$ 换成 $x$ ，移项成一个函数的导数——能凑成谁，就构造谁。

★重难点证明不等式的两条主路

路线一（单调性）：移项构造 $F (x) =$ 左 − 右，证 $F$ 单调且端点值为 0。适合「含一个变量、区间明确」的不等式。

路线二（中值定理）：把式子看成差商，用拉格朗日。适合「出现 $f (b) - f (a)$ 结构」或「要证存在某个 $ξ$ 」。

路线三（最值）：求 $F$ 在区间上的最小值，证最小值 $\geq 0$ 。适合端点处取等号、内部有极值的情形。

三条路线都要会，题目给的形式决定用哪条。

★重难点极值点、驻点、最值点是三个不同的概念

驻点： $f' (x) = 0$ 的点。
极值点：局部最大/最小，可能出现在驻点，也可能出现在不可导点（如 $| x |$ 的 $x = 0$ ）。
最值点：区间上整体最大/最小，候选集 = 驻点 + 不可导点 + 端点。

「极值点一定是驻点」是错的；「驻点一定是极值点」也是错的（如 $y = x^{3}$ 在 $0$ 处）。

★重难点拐点必须两侧凹凸性改变

$f'' (x_{0}) = 0$ 只是必要条件，不是充分条件。 $y = x^{4}$ 在 $0$ 处 $f'' (0) = 0$ ，但两侧都凹，不是拐点。

判断拐点要看 $f''$ 在 $x_{0}$ 两侧是否变号；若 $f''$ 在该点不存在，也可能是拐点（如 $y = 3] x$ 在 $0$ 处）。

易错点#

⚠易错点洛必达用完不检查是否仍是未定式

每用一次洛必达，都要重新确认仍是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 。若求导后变成非未定式，立即停止并直接求值；若越求越复杂，说明该换方法（等价无穷小、泰勒）。

⚠易错点单调区间的分界点写错

单调区间由 $f' = 0$ 的点与 $f'$ 不存在的点共同划分，且要在定义域内讨论。例如 $f (x) = x - ln x$ 的定义域是 $x > 0$ ，不能把 $x < 0$ 的部分写进单调区间。

⚠易错点二阶导判别法在

f'' (x_{0}) = 0

时失效

此时不能用第二充分条件，必须回到第一充分条件（看 $f'$ 是否变号），或用更高阶导数。直接写「 $f'' (x_{0}) = 0$ ，故不是极值」是错的。

⚠易错点斜渐近线要分别看

x \to + \infty

与

x \to - \infty

两侧的 $k, b$ 可能不同。例如 $y = \frac{x^{2}}{x + 1}$ 只有一条斜渐近线，但 $y = x + \frac{1}{x}$ 两侧相同；含 $\sqrt{x^{2} + x}$ 的题两侧往往不同，必须分开算。

⚠易错点用中值定理时忽略「

ξ

在开区间内」

结论是 $ξ \in (a, b)$ ，不是 $[a, b]$ 。有些证明需要 $ξ \neq a$ 或 $ξ \neq b$ ，必须在开区间上取。

典型例题#

✎例题例 1｜单调性证明双边不等式

证明：当 $x > 0$ 时， $\frac{x}{1 + x} < ln (1 + x) < x$ 。

思路：两侧分别构造辅助函数，证其单调递增且左端点为 0。

解：

右半边：令 $f (x) = x - ln (1 + x)$ ，则 $f (0) = 0$ ，且

f' (x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x} > 0 (x > 0) .

故 $f$ 在 $[0, + \infty)$ 上严格递增， $x > 0$ 时 $f (x) > f (0) = 0$ ，即 $ln (1 + x) < x$ 。

左半边：令 $g (x) = ln (1 + x) - \frac{x}{1 + x}$ ，则 $g (0) = 0$ ，且

g' (x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^{2}} = \frac{x}{(1 + x)^{2}} > 0 (x > 0) .

故 $g (x) > g (0) = 0$ ，即 $\frac{x}{1 + x} < ln (1 + x)$ 。

综上，不等式成立。

点评：这类题的标准动作是「移项 → 求导 → 判断符号 → 用端点值」。注意两个方向要分别构造，不能只证一半。

✎例题例 2｜拉格朗日中值定理证明不等式

证明：当 $a > 0, b > 0$ 时， $\frac{| a - b |}{max (a, b)} \leq | ln a - ln b |$ 。

思路： $ln a - ln b$ 是函数 $ln x$ 在两点处的差，正好是拉格朗日的形式。

解：不妨设 $a > b > 0$ ，在 $[b, a]$ 上对 $f (x) = ln x$ 用拉格朗日定理，存在 $ξ \in (b, a)$ 使

ln a - ln b = \frac{1}{ξ} (a - b) .

因为 $b < ξ < a$ ，所以 $\frac{1}{a} < \frac{1}{ξ} < \frac{1}{b}$ ，从而

\frac{a - b}{a} < ln a - ln b < \frac{a - b}{b} .

由 $max (a, b) = a$ ，得 $\frac{| a - b |}{max (a, b)} = \frac{a - b}{a} < | ln a - ln b |$ 。 $a < b$ 时对称同理。

点评：得到 $\frac{1}{ξ}$ 后，用 $ξ$ 的范围放缩，是这类题的固定收尾动作。

✎例题例 3｜罗尔定理 + 辅助函数

设 $f$ 在 $[0, 1]$ 上连续，在 $(0, 1)$ 内可导，且 $f (0) = f (1) = 0$ 。证明：存在 $ξ \in (0, 1)$ ，使 $f' (ξ) = f (ξ)$ 。

思路：结论 $f' - f = 0$ 正是 $(e^{- x} f (x))' = 0$ 的展开，于是构造 $F (x) = e^{- x} f (x)$ 。

解：令 $F (x) = e^{- x} f (x)$ 。则 $F$ 在 $[0, 1]$ 连续、 $(0, 1)$ 可导，且

F (0) = f (0) = 0, F (1) = e^{- 1} f (1) = 0 .

由罗尔定理，存在 $ξ \in (0, 1)$ 使 $F' (ξ) = 0$ 。而

F' (x) = e^{- x} [f' (x) - f (x)],

故 $e^{- ξ} [f' (ξ) - f (ξ)] = 0$ ，即 $f' (ξ) = f (ξ)$ 。

点评：见到 $f' + k f$ 就想 $e^{k x} f$ ；见到 $x f' + f$ 就想 $x f$ 。这个对应关系要背下来，考场上没时间现推。

✎例题例 4｜极值、凹凸与渐近线综合

设 $f (x) = \frac{x^{2} + x}{x - 1}$ ，求其单调区间、极值、凹凸区间与渐近线。

解：先做多项式除法：

f (x) = x + 2 + \frac{2}{x - 1}, x \neq 1 .

导数：

f' (x) = 1 - \frac{2}{(x - 1)^{2}} = \frac{(x - 1)^{2} - 2}{(x - 1)^{2}} = \frac{(x - 1 - \sqrt{2}) (x - 1 + \sqrt{2})}{(x - 1)^{2}} .

令 $f' = 0$ 得 $x = 1 \pm \sqrt{2}$ 。列表可知：

在 $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ 与 $(1 + \sqrt{2}, + \infty)$ 上 $f' > 0$ ，递增；
在 $(1 - \sqrt{2}, 1)$ 与 $(1, 1 + \sqrt{2})$ 上 $f' < 0$ ，递减。

故 $x = 1 - \sqrt{2}$ 为极大值点， $f (1 - \sqrt{2}) = 2 - 2 \sqrt{2}$ ； $x = 1 + \sqrt{2}$ 为极小值点， $f (1 + \sqrt{2}) = 2 + 2 \sqrt{2}$ 。

凹凸：

f'' (x) = \frac{4}{(x - 1)^{3}} .

$x > 1$ 时 $f'' > 0$ （凹）， $x < 1$ 时 $f'' < 0$ （凸）。 $x = 1$ 不在定义域内，故无拐点。

渐近线： ${lim}_{x \to 1} f (x) = \infty$ ，故 $x = 1$ 为垂直渐近线；由 $f (x) = x + 2 + \frac{2}{x - 1}$ 知 $y = x + 2$ 为斜渐近线，无水平渐近线。

点评：先做除法把有理函数拆成「多项式 + 真分式」，求导和渐近线都会变简单，这是通用技巧。

✎例题例 5｜最值的实际应用

用一块边长为 $a$ 的正方形铁皮，四角各剪去一个边长为 $x$ 的小正方形，折成一个无盖盒子。求 $x$ 为多少时容积最大。

解：容积

V (x) = x (a - 2 x)^{2}, 0 < x < \frac{a}{2} .

求导：

V' (x) = (a - 2 x)^{2} - 4 x (a - 2 x) = (a - 2 x) (a - 6 x) .

令 $V' = 0$ ，得 $x = \frac{a}{6}$ （ $x = \frac{a}{2}$ 不在开区间内，舍去）。

当 $0 < x < \frac{a}{6}$ 时 $V' > 0$ ，当 $\frac{a}{6} < x < \frac{a}{2}$ 时 $V' < 0$ ，故 $x = \frac{a}{6}$ 为极大值点，也是开区间内唯一驻点，即最大值点。

最大容积 $V (\frac{a}{6}) = \frac{a}{6} \cdot (\frac{2 a}{3})^{2} = \frac{2 a^{3}}{27}$ 。

点评：实际问题的定义域是开区间，唯一驻点即最值点——这句话要写出来，否则会被认为没验证。

自测清单#

☐ 能背出三个中值定理的完整条件，并各举一个「条件不满足则结论失效」的反例。
☐ 看到 $f' + k f = 0$ 能立刻想到 $e^{k x} f (x)$ 。
☐ 能区分驻点、极值点、最值点，并说出各自的判定方法。
☐ 会用一阶导、二阶导列表讨论单调性与凹凸性。
☐ 能求三类渐近线，且知道斜渐近线要分左右两侧。