第五章定积分及其应用 · 微积分学习站

本章结构（对应教材）#

节	内容	页码
§1	定积分概念（定义、可积函数类）	221
§2	定积分的性质和基本定理（微积分学基本定理）	228
§3	定积分的计算方法（基本方法、简化方法）	238
§4	定积分的应用（面积、体积、微元法、物理、经济）	248
§5	反常积分（无穷区间、无界函数、判别法、Γ 函数）	272
§6	定积分的近似计算（矩形法、梯形法、抛物线法）	286

›提示本页覆盖范围

§1–§4 已整理；§5 只写了敛散判据的要点，§5.3 判别法、§5.4 Γ 函数、§6 近似计算待补。

本章在考什么#

题型	分值	频率	说明
定积分计算（换元、分部、对称性）	8–15 分	必考	主力题型
变上限积分求导	5–8 分	高频	几乎每年
反常积分敛散性	5–8 分	高频	判断 + 计算
面积、旋转体体积	8–12 分	必考	应用题
定积分不等式 / 中值定理	5–8 分	中频	证明题

知识框架#

定积分
├─ 定义：分割、近似、求和、取极限（黎曼和）
├─ 几何意义：曲边梯形面积的代数和
├─ 性质：线性、区间可加、保号、估值、中值定理
├─ 微积分基本定理
│  ├─ 变上限积分 Φ(x)=∫ₐˣ f(t)dt，Φ'(x)=f(x)
│  └─ 牛顿-莱布尼茨：∫ₐᵇ f = F(b)-F(a)
├─ 计算：换元（换限）、分部
├─ 对称性：奇零偶倍、∫₀ᵃ f(x)dx = ∫₀ᵃ f(a-x)dx
├─ 反常积分：无穷限、瑕积分
└─ 应用：面积、体积、弧长、物理量

核心定义与定理#

定积分的定义

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{λ \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x_{i} .

这个定义有两个用途：一是用定积分表示和式的极限（第 1 章夹逼题的升级版），二是判断定积分与积分变量记号无关： $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t$ 。

变上限积分求导

Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t \Rightarrow Φ' (x) = f (x) (f 连续) .

更一般地，若上下限都是函数：

\frac{d}{d x} \int_{ψ (x)}^{φ (x)} f (t) d t = f [φ (x)] φ' (x) - f [ψ (x)] ψ' (x) .

★重难点变上限求导的三个易错点

上限是 $x^{2}$ 、 $sin x$ 等复合函数：必须乘以上限的导数（链式）。
被积函数含 $x$ ：如 $\int_{0}^{x} x f (t) d t$ ，先把 $x$ 提出来变成 $x \int_{0}^{x} f (t) d t$ ，再用乘积法则；不能直接把 $x$ 当常数丢进去求导。
下限是变量：结果是「上限项 − 下限项」，符号最容易错。

牛顿-莱布尼茨公式

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F' (x) = f (x) .

使用前提： $f$ 在 $[a, b]$ 上连续（或在积分区间内可积且 $F$ 是原函数）。

⚠易错点被积函数在区间内有瑕点时不能直接用 N-L 公式

$\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x^{2}}$ 若直接算得 $[- \frac{1}{x}]_{- 1}^{1} = - 2$ ，是错的—— $x = 0$ 是瑕点，该反常积分发散。

正确做法：先判断 $x = 0$ 是否为瑕点，若是则拆成两个反常积分分别判断。

对称性与常用性质

\int_{- a}^{a} f (x) d x = {\begin{cases} 0, & f 为奇函数 \\ 2 \int_{0}^{a} f (x) d x, & f 为偶函数 \end{cases}

\int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} f (a - x) d x, \int_{0}^{π} x f (sin x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (sin x) d x .

定积分中值定理

若 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，则存在 $ξ \in [a, b]$ ，使

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a) .

重难点#

★重难点换元必须同时换限

定积分换元时， $x = φ (t)$ 单调可导，则

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f [φ (t)] φ' (t) d t,

其中 $α, β$ 由 $a = φ (α)$ 、 $b = φ (β)$ 确定。

换限后不必回代，这是定积分比不定积分省事的地方；但若忘记换限又回代，就会得到错误结果。

★重难点分段函数的定积分：按分界点拆区间

被积函数含 $| x - a |$ 、 $max$ 、 $min$ 、分段定义时，先在分界点处把积分区间拆开，每段上用对应表达式，再相加。

\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f .

这是定积分「区间可加性」的直接应用，也是绝对值积分唯一正确的处理方式。

★重难点反常积分先判敛散，再算值

两类：无穷限（ $\int_{a}^{+ \infty}$ ）与瑕积分（被积函数在区间内无界）。

判据（ $p$ 积分）：

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x^{p}} 收敛 \Leftrightarrow p > 1, \int_{0}^{1} \frac{d x}{x^{p}} 收敛 \Leftrightarrow p < 1 .

两个 $p$ 的范围相反，这是最容易被记混的一对结论。

易错点#

⚠易错点面积不是定积分，是定积分的绝对值

曲线在 $x$ 轴下方时定积分为负。求「面积」必须分段取绝对值，或先求交点划分区间。

例如 $y = x^{2}$ 与 $y = x$ 围成的面积是 $\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}$ ，而不是 $\int_{0}^{1} (x^{2} - x) d x$ 。

⚠易错点旋转体体积的公式用错轴

绕 $x$ 轴旋转（圆盘法）： $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ 。

绕 $y$ 轴旋转（柱壳法）： $V = 2 π \int_{a}^{b} x | f (x) | d x$ 。

两种方法的结果必须一致，算完可以用另一种验证。

⚠易错点定积分是常数，不是函数

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ 是一个数，导数为 0；而 $\int_{a}^{x} f (t) d t$ 是函数，可以对 $x$ 求导。看到 $\frac{d}{d x} \int_{a}^{b} f (t) d t$ 应立刻答 0。

⚠易错点被积函数含参变量时不能直接求导

$\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t$ 要先展开成 $x \int_{0}^{x} f (t) d t - \int_{0}^{x} t f (t) d t$ ，再逐项求导。直接把 $x$ 当常数是典型错误。

典型例题#

✎例题例 1｜变上限积分求导

设 $F (x) = \int_{0}^{x^{2}} \frac{sin t}{t} d t$ ，求 $F' (x)$ 。

解：由复合函数求导，

F' (x) = \frac{sin (x^{2})}{x^{2}} \cdot (x^{2})' = \frac{2 sin (x^{2})}{x} .

点评：上限是 $x^{2}$ 而不是 $x$ ，必须乘 $2 x$ 。另外被积函数在 $t = 0$ 处无定义，但 ${lim}_{t \to 0} \frac{sin t}{t} = 1$ ，可补充定义使其连续，不影响结论——这一点在严谨的答卷上可以提一句。

✎例题例 2｜分段 + 绝对值

求 $\int_{0}^{2} | x - 1 | d x$ 。

解：分界点为 $x = 1$ ，拆区间：

\int_{0}^{2} | x - 1 | d x = \int_{0}^{1} (1 - x) d x + \int_{1}^{2} (x - 1) d x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 .

点评：几何上这是两个腰长为 1 的等腰直角三角形面积之和，答案应为 1，可用作验算。

✎例题例 3｜对称性

求 $\int_{- π / 2}^{π / 2} (x + {sin}^{2} x) d x$ 。

解：拆成两项。 $x$ 是奇函数，在对称区间上积分为 0； ${sin}^{2} x$ 是偶函数，

\int_{- π / 2}^{π / 2} {sin}^{2} x d x = 2 \int_{0}^{π / 2} {sin}^{2} x d x = 2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2} .

故原式 $= \frac{π}{2}$ 。

点评：先看奇偶性再动手，能省掉大量计算。 $\int_{0}^{π / 2} {sin}^{2} x d x = \int_{0}^{π / 2} {cos}^{2} x d x = \frac{π}{4}$ 是常用结论（华里士公式的特例）。

✎例题例 4｜反常积分

计算 $\int_{0}^{+ \infty} x e^{- x} d x$ 。

解：先按定义写成极限：

\int_{0}^{+ \infty} x e^{- x} d x = lim_{b \to + \infty} \int_{0}^{b} x e^{- x} d x .

分部积分： $\int x e^{- x} d x = - x e^{- x} - \int (- e^{- x}) d x = - x e^{- x} - e^{- x} + C$ 。于是

\int_{0}^{b} x e^{- x} d x = [- e^{- x} (x + 1)]_{0}^{b} = 1 - e^{- b} (b + 1) .

当 $b \to + \infty$ 时 $e^{- b} (b + 1) \to 0$ ，故原积分 $= 1$ 。

点评：反常积分必须写出极限过程，直接套 N-L 公式会被扣分（虽然结果相同）。

✎例题例 5｜面积应用

求由曲线 $y = x^{2}$ 与直线 $y = x$ 所围成的平面图形的面积。

解：先求交点： $x^{2} = x \Rightarrow x = 0$ 或 $x = 1$ 。

在 $[0, 1]$ 上 $x \geq x^{2}$ ，故

S = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = [\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} .

点评：面积题的第一步永远是求交点定区间，第二步是判断上下位置（可用区间内一点代入检验）。

自测清单#

☐ 能写出变上限积分求导的一般公式，并处理上下限都是复合函数的情况。
☐ 定积分换元时，能同时完成「换被积函数、换微分、换上下限」三件事。
☐ 能默写 $p$ 积分在两种区间上的收敛条件，并说清为什么相反。
☐ 会用对称性简化计算，并能判断被积函数的奇偶性。
☐ 面积、旋转体体积的公式能默写，且知道绕 $x$ 轴与绕 $y$ 轴的区别。