第一章函数与极限 · 微积分学习站

本章结构（对应教材）#

节	内容	页码	状态
§1	函数（函数概念、初等函数、经济函数）	3	已学
§2	数列极限	25	已学
§3	函数极限（含两个重要极限、无穷小比较）	33	已学
§4	函数的连续性（间断点分类、闭区间性质）	55	已学
—	第一章综合题	72	—

说明：本页按考点组织，不按教材节序。做题时用上面的页码回教材找原文，用本页的标签判断哪里该重点看。

本章在考什么#

极限是每年必考的第一道大题，也是最容易拉开差距的地方：会做的人 30 秒出答案，不会的人写满一页还得不到分。

题型	常见位置	分值	频率
求极限（含未定式）	选择、填空、计算第一题	8–20 分	必考
无穷小阶的比较	选择、填空	3–5 分	高频
间断点判定与分类	选择、计算	5–10 分	高频
分段函数在分界点的连续性	计算	5–8 分	高频
闭区间连续函数性质（证明）	证明题	5–8 分	中频

判断依据：本章内容几乎没有孤立考点，它和导数定义、定积分定义、级数收敛都直接相连。极限算不快，后面全章都会被拖慢。

知识框架#

函数
├─ 三要素：定义域、对应法则、值域
├─ 复合 / 反函数 / 分段函数
├─ 初等函数：幂、指数、对数、三角、反三角
└─ 性质：奇偶、单调、周期、有界

极限
├─ 数列极限：ε-N
├─ 函数极限：ε-δ（x→x₀）、ε-X（x→∞）
├─ 左右极限：极限存在 ⟺ 左右极限存在且相等
├─ 性质：唯一性、局部有界性、保号性
├─ 存在准则：夹逼准则、单调有界准则
└─ 两个重要极限

无穷小与无穷大
├─ 定义：lim α = 0；lim β = ∞
├─ 关系：无穷大的倒数是无穷小（反之需加「非零」）
├─ 比较：高阶、同阶、等价、k 阶
└─ 等价替换：乘除可用，加减慎用

连续
├─ 定义：lim f(x) = f(x₀)
├─ 间断点：第一类（可去、跳跃）/ 第二类（无穷、振荡）
└─ 闭区间性质：有界、最值、介值、零点

核心定义与定理#

函数极限的 ε-δ 定义

设函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义。若对任意给定的 $ε > 0$ ，总存在 $δ > 0$ ，使得当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时，恒有

| f (x) - A | < ε,

则称 $A$ 为 $f (x)$ 当 $x \to x_{0}$ 时的极限，记作 ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = A$ 。

›提示这个定义在考试里怎么用

直接考 ε-δ 证明的学校不多，但它会变形出现：证明极限不存在（找两条路径或两个子列，得到不同极限）、证明无界、以及判断题里「 $δ$ 依赖于 $ε$ 」这类概念辨析。真正要背的是量词顺序：先 $ε$ 后 $δ$ 。

极限存在的充要条件

lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Leftrightarrow lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A .

这是处理分段函数分界点、含绝对值、含 $e^{1 / x}$ 或 $arctan \frac{1}{x}$ 的题目的第一反应。

连续的定义

$f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，当且仅当同时满足三条：

$f (x_{0})$ 有定义；
${lim}_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在；
${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ 。

等价说法： ${lim}_{Δ x \to 0} Δ y = 0$ 。三条缺一不可，这也是判断间断点的三条线索。

两个存在准则

夹逼准则：若在 $x_{0}$ 的去心邻域内 $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ ，且 $lim g (x) = lim h (x) = A$ ，则 $lim f (x) = A$ 。
单调有界准则：单调递增且有上界的数列必收敛；单调递减且有下界的数列必收敛。

闭区间上连续函数的四条性质

设 $f \in C [a, b]$ ，则：

性质	结论	典型用途
有界性	$f$ 在 $[a, b]$ 上有界	说明分母不为零、估计
最值性	必取到最大值与最小值	最值应用题的存在性
介值性	任意介于 $m, M$ 之间的值都能取到	证明方程有根
零点定理	$f (a) f (b) < 0 \Rightarrow \exists ξ \in (a, b), f (ξ) = 0$	根的存根性证明

★重难点零点定理的使用套路

证明「方程有且仅有一个根」= 零点定理证存在 + 单调性证唯一。两步都要写全，只写存在会扣分。区间端点是否取到不影响结论，但要注意函数在闭区间上连续这个前提，开区间要说明延拓。

公式与结论速查#

等价无穷小（ $x \to 0$ ）

无穷小	等价于	无穷小	等价于
$sin x$	$x$	$ln (1 + x)$	$x$
$tan x$	$x$	$e^{x} - 1$	$x$
$arcsin x$	$x$	$a^{x} - 1$	$x ln a$
$arctan x$	$x$	$(1 + x)^{α} - 1$	$α x$
$1 - cos x$	$\frac{x^{2}}{2}$	$x - sin x$	$\frac{x^{3}}{6}$
$tan x - x$	$\frac{x^{3}}{3}$	$x - ln (1 + x)$	$\frac{x^{2}}{2}$

两个重要极限与 1∞ 型公式

lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1, lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e, lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e .

对 $1^{\infty}$ 型（ $u \to 1$ ， $v \to \infty$ ）：

lim u^{v} = exp (lim v (u - 1)) .

◆方法这个公式为什么成立

把 $u^{v}$ 写成 $e^{v ln u}$ ，再用 $ln u = ln (1 + (u - 1)) \sim u - 1$ 。所以本质是等价无穷小 + 复合，忘了公式可以现场推，比硬背安全。

重难点#

★重难点等价无穷小只能在乘除中整体替换

加减法中直接替换会丢掉主项。典型错例： ${lim}_{x \to 0} \frac{tan x - sin x}{x^{3}}$ ，若写成 $\frac{x - x}{x^{3}} = 0$ 就错了——两项同阶相消，真正的差是 $x^{3}$ 量级（正确答案 $\frac{1}{2}$ ）。

正确做法：先合并成乘积（提公因式、通分、有理化），再替换；或者用泰勒展开到足够阶。

★重难点1∞ 型：先写成 e 的指数，再算指数上的极限

形如 $lim (\frac{x + 1}{x - 1})^{x}$ 、 $lim (1 + sin x)^{1 / x}$ 都是这一类。核心是把底数写成 $1 + α (x)$ ，其中 $α \to 0$ ，则原式 $= exp (lim \frac{ln (1 + α)}{α} \cdot α v) = exp (lim α v)$ 。

不要先算底数极限得 1 再写 $1^{\infty} = 1$ ——这是最经典的错误。

★重难点洛必达法则的三个前提，缺一不可

必须是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ ；
分子分母在去心邻域内可导，且分母导数不为零；
$lim \frac{f'}{g'}$ 存在（或为 $\infty$ ）。

第三条最容易被忽略：若 $lim \frac{f'}{g'}$ 不存在，不能反推原极限不存在。例如 ${lim}_{x \to \infty} \frac{x + sin x}{x}$ ，求导后 $\frac{1 + cos x}{1}$ 无极限，但原极限等于 1。

★重难点数列极限不能直接洛必达

洛必达要求函数在区间上可导， $n$ 是离散变量。两种正规处理：

转化为函数极限：先求 ${lim}_{x \to + \infty} f (x)$ ，再用海涅定理回到数列；
直接用夹逼或单调有界。

考试中「 ${lim}_{n \to \infty}$ 却对 $n$ 求导」是典型的逻辑错误，即使答案对也会扣分。

★重难点分段点处的一切判断都要左右分算

极限、连续、可导、单调，在分界点 $x_{0}$ 处都必须分别看 $x \to x_{0}^{-}$ 与 $x \to x_{0}^{+}$ 。含 $| x - a |$ 、 $\sqrt{x^{2}}$ 、 $e^{1 / x}$ 、 $arctan \frac{1}{x}$ 的式子，分界点几乎必是考点。

易错点#

⚠易错点用

lim \frac{sin x}{x} = 1

时忘了

x \to 0

这个极限只在 $x \to 0$ 时成立，且 $x$ 必须是弧度。 ${lim}_{x \to \infty} \frac{sin x}{x} = 0$ （有界量除以无穷大），两者完全不同。

⚠易错点无穷小 × 有界 = 无穷小，但无穷大 × 有界不一定

${lim}_{x \to 0} x sin \frac{1}{x} = 0$ 成立（ $x$ 是无穷小， $sin \frac{1}{x}$ 有界）。

但 ${lim}_{x \to \infty} x sin \frac{1}{x} = 1$ ，不能因为「 $sin$ 有界」就判成无穷大或不存在。判断前先看无穷小/无穷大的阶。

⚠易错点0·∞ 型不能直接洛必达

洛必达只认 $\frac{0}{0}$ 与 $\frac{\infty}{\infty}$ 。遇到 $0 \cdot \infty$ ，先化为 $\frac{0}{1 / \infty}$ 或 $\frac{\infty}{1 / 0}$ ，再判断。同理 $\infty - \infty$ 要通分、有理化或提公因式， $1^{\infty}$ 、 $0^{0}$ 、 $\infty^{0}$ 要取对数。

⚠易错点间断点分类：左右极限都存在才是第一类

左右极限存在且相等，但不等于函数值（或函数无定义）→ 可去间断点；
左右极限都存在但不相等 → 跳跃间断点；
至少一侧极限不存在（趋于无穷或振荡）→ 第二类（无穷间断 / 振荡间断）。

把「跳跃」写成「可去」是最常见的失分点，判据是左右极限是否相等，不是函数值。

⚠易错点极限存在 ≠ 在该点连续

${lim}_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$ ，但 $\frac{sin x}{x}$ 在 $x = 0$ 处无定义。极限只看「去心邻域」，连续还要看「函数值」。判断题常在这里设套。

⚠易错点忽略定义域直接化简

${lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = 2$ 没错，但原函数在 $x = 1$ 无定义；而 ${lim}_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$ 这类题，先看根号内是否非负。化简会扩大定义域，可能把不该取的路径算进来。

典型例题#

✎例题例 1｜等价无穷小：先合并，再替换

求 ${lim}_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x sin x}$ 。

思路：分子、分母各自是「可直接替换」的单个因子，不必合并。

解：当 $x \to 0$ 时， $1 - cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$ ， $sin x \sim x$ ，故 $x sin x \sim x^{2}$ 。于是

lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x sin x} = lim_{x \to 0} \frac{x^{2} / 2}{x^{2}} = \frac{1}{2} .

另一种写法（更稳妥，不依赖替换规则）：

lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^{2}} \cdot \frac{x}{sin x} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} .

点评：把待求式拆成「已知极限的乘积」，是避免替换出错的最可靠办法。

✎例题例 2｜1∞ 型 + 泰勒：

((1 + x)^{1 / x} - e) / x

求 ${lim}_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{1 / x} - e}{x}$ 。

思路：底数趋于 $e$ ，整体是 $e - e = 0$ 型，需要知道 $(1 + x)^{1 / x}$ 比 $e$ 差多少——这是展开到一阶的信号。

解：写成指数形式

(1 + x)^{1 / x} = exp (\frac{ln (1 + x)}{x}) .

由 $ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + o (x^{2})$ ，得 $\frac{ln (1 + x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + o (x)$ 。于是

(1 + x)^{1 / x} = e \cdot e^{- x / 2 + o (x)} = e (1 - \frac{x}{2} + o (x)) = e - \frac{e}{2} x + o (x) .

所以

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{1 / x} - e}{x} = lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e}{2} x + o (x)}{x} = - \frac{e}{2} .

点评：凡是「 $f (x) - A$ 除以 $x - x_{0}$ 」的形式，本质都是导数定义或泰勒一阶项。这里也可以直接用导数定义：设 $g (x) = (1 + x)^{1 / x}$ ，所求即 $g' (0)$ 。

✎例题例 3｜陷阱题：加减中替换会归零

求 ${lim}_{x \to 0} \frac{tan x - sin x}{x^{3}}$ 。

错误做法： $tan x \sim x$ ， $sin x \sim x$ ，分子 $\sim x - x = 0$ ，得极限为 0。

错因：分子两项同阶，相减后主项抵消，剩下的低阶项才是主导，不能各自替换。

正确解：先提出公因子，化成乘积：

tan x - sin x = sin x (\frac{1}{cos x} - 1) = sin x \cdot \frac{1 - cos x}{cos x} .

于是

lim_{x \to 0} \frac{tan x - sin x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} \cdot \frac{1 - cos x}{x^{2}} \cdot \frac{1}{cos x} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} .

点评：判断能不能替换，看替换后主项是否被消掉。被消掉就必须展开到更高阶（ $tan x - x \sim \frac{x^{3}}{3}$ ， $x - sin x \sim \frac{x^{3}}{6}$ ）。

✎例题例 4｜夹逼准则

求 ${lim}_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}})$ 。

思路： $n$ 项相加，每项结构相同但分母不同，没有统一公式——先放缩成同一个式子。

解：各项分母满足 $\sqrt{n^{2} + 1} \leq \sqrt{n^{2} + k} \leq \sqrt{n^{2} + n}$ ，故

\frac{n}{\sqrt{n^{2} + n}} \leq S_{n} \leq \frac{n}{\sqrt{n^{2} + 1}} .

而

lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^{2} + n}} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + 1 / n}} = 1, lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^{2} + 1}} = 1 .

由夹逼准则， $S_{n} \to 1$ 。

点评：夹逼的关键是找到同一个极限的两侧。分母最小取 1、最大取 $n$ ，就是把每一项夹在最大项与最小项之间。

✎例题例 5｜零点定理 + 单调性：证明根存在且唯一

证明方程 $x = cos x$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 内有且仅有一个实根。

思路：「有且仅有一个」= 存在性（零点定理）+ 唯一性（单调性）。

解：令 $f (x) = x - cos x$ ，则 $f$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上连续。

存在性： $f (0) = 0 - 1 = - 1 < 0$ ， $f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - 0 = \frac{π}{2} > 0$ 。由零点定理，存在 $ξ \in (0, \frac{π}{2})$ 使 $f (ξ) = 0$ 。
唯一性： $f' (x) = 1 + sin x > 0$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 内恒成立，故 $f$ 严格单调递增，零点至多一个。

综上，方程在 $(0, \frac{π}{2})$ 内有且仅有一个实根。

点评：这类题的分值几乎全在「唯一性」上。只写零点定理通常只得一半分。

自测清单#

做完下面五条再进入第 2 章：

☐ 能不查表写出 10 个等价无穷小，并说清各自的成立条件（ $x \to 0$ ）。
☐ 拿到一个极限，能先判断未定式类型，再选方法（替换 / 洛必达 / 泰勒 / 夹逼 / 单调有界）。
☐ 能对含 $| x |$ 、 $e^{1 / x}$ 、 $arctan \frac{1}{x}$ 的函数，在分界点分别求左右极限。
☐ 能判断四类间断点，并说明「可去」与「跳跃」的区别。
☐ 能用零点定理 + 单调性完整写出「有且仅有一个根」的证明。

本章题目#

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